الخريطة اللوجستية: مخطط تشعّب تفاعلي

الخريطة اللوجستية في هذا التصوّر

الخريطة اللوجستية هي التحويل $f(x) = r x (1 - x)$ من الفترة $[0, 1]$ إلى نفسها، بمعامل $0 \le r \le 4$ . البدء من $x_0$ وتطبيق $x_{n+1} = f(x_n)$ مرارًا يعطي متتالية؛ تتناول الصفحة كيف يتغيّر سلوكها طويل الأمد مع $r$ .

x_{n+1} = r\,x_n\,(1 - x_n),\qquad x_n \in [0, 1],\qquad 0 \le r \le 4

ماذا تُظهر الصور؟

مخطط التشعّب، الصورة الكبيرة: $r$ أفقيًا و $x$ رأسيًا. يأخذ كل عمود قيمة $r$ عند مركزه، ويبدأ من $x_0 = 1/\pi$ ، ويتجاوز أول $T$ خطوة ثم يسجّل مواضع الخطوات $K$ التالية؛ كلما زاد السطوع زاد التكرار. تُعرض $T$ و $K$ في الزاوية العليا اليمنى وتزدادان مع التكبير. لذا فإن كل عمود عينة طويلة الأمد لبداية واحدة، لا التاريخ الكامل لمدار. تعني «نمطية» تقريبًا كل البدايات (بمعنى قياس الطول)؛ وتمثّلها $1/\pi$ دون برهان على أنها نمطية لكل $r$ .

شريط λ، تحت المخطط وعلى محور $r$ نفسه: تقدير عددي لأس ليابونوف $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (البداية النمطية نفسها، مع تجاوز 1000 خطوة وأخذ متوسط 4000). وهو متوسط معدل النمو الأسي لفرق متناهٍ في الصغر بين بدايتين: تحت 0 تتقلّص هذه الفروق في المتوسط، وفوق 0 تنمو. عند معامل فائق الاستقرار (تقع $\tfrac12$ على الدورة الجاذبة) تكون $\lambda = -\infty$ ؛ وتُرسم كسهم إلى أسفل مع طول الدورة، عند المعامل المحسوب عدديًا.

مخطط بيت العنكبوت، في أعلى اللوحة: المنحنى $y = f(x)$ (أو $f^2$ أو $f^3$ أو $f^4$ ) والقطر $y = x$ . صعود من $x_0$ إلى المنحنى، ثم انتقال أفقي إلى القطر: هذه خطوة. النقاط الممتلئة ثابتة جاذبة، والفارغة طاردة.

السلسلة الزمنية، بضغطة مفتاح: $x_n$ مقابل $n$ ، وعلى يمينها نسبة $10^5$ خطوة من هذا المدار في كل فئة من 40 فئة؛ وعند $r = 4$ يمثّل الخط بلون الحبر الاحتمال النظري.

لماذا تبدو هكذا؟

عند النقطة الثابتة $x^* = 1 - 1/r$ يكون الميل $f'(x^*) = 2 - r$ . عندما $1 < r < 3$ ، تتحقق $|f'(x^*)| < 1$ فتجذب جيرانها. ومع تجاوز $r$ القيمة 3، تتجاوز $f'(x^*)$ القيمة $-1$ : تفقد جاذبيتها وتظهر بجوارها دورة طولها 2، $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ ، بمضاعف $4 + 2r - r^2$ . الزوج هو موضع التقاء $f^2$ الجديد بالقطر — حوّل بيت العنكبوت إلى $f^2$ لتراه. عند $r = 1 + \sqrt6$ يبلغ مضاعف الدورة الثنائية $-1$ فتنقسم بدورها.

تأتي المضاعفات أسرع فأسرع وتتراكم عند $r_\infty \approx 3.5699$ . تؤول نسبة التباعدات المتتالية إلى ثابت فايغنباوم $\delta \approx 4.6692$ ، وليس لهذه الخريطة وحدها: فهو نفسه لفئة كاملة من الخرائط ذات القمة الواحدة التربيعية (اكتشفه فايغنباوم سنة 1978، وأثبته لانفورد لاحقًا بمساعدة الحاسوب).

نافذة داخل الفوضى: عندما تتجاوز $r$ القيمة $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ ، تلمس $f^3$ القطر ويولد زوج من الدورات الثلاثية، إحداهما جاذبة والأخرى طاردة (تشعّب عقدة–سرج، بمضاعف $+1$ ). وداخل النافذة تبدأ سلسلة مضاعفة دوراتها الخاصة.

عند $r = 4$ ، تتحقق $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$ : وضع $x = \sin^2(\pi u)$ ينقل خريطة المضاعفة $u \mapsto 2u \bmod 1$ إلى $f$ (نصف اقتران: تعطي $u$ و $1 - u$ قيمة $x$ نفسها). ومن ذلك نحصل بدقة على الكثافة طويلة الأمد لبداية نمطية، $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$ ، وعلى $\lambda = \ln 2$ .

تظهر نوافذ دورية في أنحاء المنطقة التي تبدو فوضوية. حين توجد دورة جاذبة تقترب منها البدايات النمطية؛ وخلاف ذلك يكون العمود المرسوم عينة طويلة الأمد للقيمة الابتدائية المذكورة، لا تصنيفًا لكل بداية ممكنة.

ما يسهل الخلط فيه

عمود المخطط ليس تاريخ مدار واحد، بل عينة طويلة الأمد بعد حذف المرحلة العابرة؛ وحيث تتباطأ هذه المرحلة (قرب تشعّب) يبدو العمود ضبابيًا.
طول الدورة في سطر «السلوك طويل الأمد» حكم عددي: تكرار عبر ثلاث نوافذ متتالية، والنتيجة نفسها مع تكرارات إضافية، ومضاعف قيمته المطلقة أقل من 1. التكرار في الحساب العائم ليس برهانًا على دورة جاذبة؛ وعندما يعجز الاختبار عن الحسم يذكر السطر ذلك.
إشارة λ ليست تصنيفًا شاملًا: عند $r = 4$ مع $x_0 = 3/4$ لا يتحرك المدار أبدًا، ومع ذلك تكون λ عليه $\ln 2$ أيضًا.
للبدايات الخاصة مصائرها: عند $r = 4$ ، تكون $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ وتبقى عند 0. طول مجموعة هذه البدايات كلها 0، لذا تظل العبارات المتعلقة بالبدايات النمطية صحيحة.

لمحة تاريخية

تأتي كلمة «لوجستي» من معادلة فيرهولست التفاضلية لنمو السكان سنة 1838. في 1976 استخدم ماي هذه الخريطة المتقطعة في Nature ليبيّن أن النماذج البسيطة قد تُظهر سلوكًا معقدًا جدًا [1]. وكان أولام وفون نيومان قد أشارا إلى الكثافة الثابتة عند $r = 4$ سنة 1947 [2]. وفي 1978 اكتشف فايغنباوم الثوابت العامة لسلسلة مضاعفة الدورات [3]، وقدّم سينغر معيار وجود دورة جاذبة واحدة على الأكثر [4].

مفاهيم ذات صلة

المراجع

R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Logistic map (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Robert May (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Mitchell Feigenbaum (الإنجليزية).