Logistische Abbildung

Die logistische Abbildung in dieser Visualisierung

Die logistische Abbildung ist die Abbildung $f(x) = r x (1 - x)$ des Intervalls $[0, 1]$ in sich selbst mit Parameter $0 \le r \le 4$. Wiederholtes Anwenden von $x_{n+1} = f(x_n)$ ab dem Startwert $x_0$ ergibt eine Folge. Diese Seite zeigt, wie sich ihr Langzeitverhalten mit $r$ ändert.

Was die Bilder zeigen

Das Bifurkationsdiagramm, das große Bild: $r$ waagerecht, $x$ senkrecht. Jede Spalte verwendet den Wert $r$ in ihrer Mitte, startet bei $x_0 = 1/\pi$, überspringt die ersten $T$ Schritte und zeichnet die nächsten $K$ Werte auf; je heller, desto häufiger. $T$ und $K$ stehen oben rechts und wachsen beim Hineinzoomen. Jede Spalte ist also eine Langzeitstichprobe eines Startwerts, nicht die ganze Geschichte einer Bahn. „Typisch“ bedeutet fast jeder Startwert im Sinne des Längenmaßes; $1/\pi$ steht stellvertretend dafür, ohne Beweis, dass dieser Wert für jedes $r$ typisch ist.

Der λ-Streifen unter dem Diagramm auf derselben $r$-Achse zeigt eine numerische Schätzung des Lyapunov-Exponenten $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (derselbe typische Startwert, 1000 Schritte übersprungen, 4000 gemittelt). Er ist die mittlere exponentielle Wachstumsrate eines unendlich kleinen Unterschieds zwischen zwei Startwerten: Unter 0 schrumpfen solche Unterschiede im Mittel, über 0 wachsen sie. Bei einem superstabilen Parameter ($\tfrac12$ liegt auf dem anziehenden Zyklus) gilt $\lambda = -\infty$. Dies wird am numerisch bestimmten Parameter durch einen nach unten gerichteten Pfeil mit Periodenangabe dargestellt.

Das Spinnwebdiagramm oben im Bedienfeld zeigt die Kurve $y = f(x)$ (oder $f^2$, $f^3$, $f^4$) und die Diagonale $y = x$. Von $x_0$ nach oben zur Kurve, dann waagerecht zur Diagonale: ein Schritt. Ausgefüllte Punkte sind anziehende Fixpunkte, hohle abstoßende.

Die Zeitreihe, per Taste erreichbar: $x_n$ gegen $n$, rechts daneben der Anteil von $10^5$ Schritten dieser Bahn in jeder von 40 Klassen. Bei $r = 4$ zeigt die dunkle Linie die theoretische Wahrscheinlichkeit.

Warum es so aussieht

Am Fixpunkt $x^* = 1 - 1/r$ beträgt die Steigung $f'(x^*) = 2 - r$. Für $1 < r < 3$ gilt $|f'(x^*)| < 1$, und er zieht seine Nachbarn an. Wenn $r$ die 3 überschreitet, unterschreitet $f'(x^*)$ den Wert $-1$: Der Fixpunkt verliert seine Anziehung, und daneben entsteht ein 2-Zyklus $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ mit Multiplikator $4 + 2r - r^2$. Das Paar liegt an den neuen Schnittpunkten von $f^2$ mit der Diagonalen — schalte das Spinnwebdiagramm auf $f^2$, um sie zu sehen. Bei $r = 1 + \sqrt6$ erreicht der Multiplikator des 2-Zyklus $-1$, und seine Periode verdoppelt sich ebenfalls.

Die Verdopplungen folgen immer schneller und häufen sich bei $r_\infty \approx 3.5699$. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Abstände nähert sich der Feigenbaum-Konstante $\delta \approx 4.6692$ — nicht nur bei dieser Abbildung, sondern bei einer ganzen Klasse von Abbildungen mit einem einzigen quadratischen Maximum (1978 von Feigenbaum entdeckt, später von Lanford mit Computerhilfe bewiesen).

Ein Fenster im Chaos: Wenn $r$ den Wert $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ überschreitet, berührt $f^3$ die Diagonale, und zwei 3-Zyklen entstehen, einer anziehend, einer abstoßend (Sattel-Knoten-Bifurkation, Multiplikator $+1$). Im Fenster folgt eine eigene Periodenverdopplungskaskade.

Bei $r = 4$ gilt $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: Die Substitution $x = \sin^2(\pi u)$ überführt die Verdopplungsabbildung $u \mapsto 2u \bmod 1$ in $f$ (eine Semikonjugation: $u$ und $1 - u$ ergeben dasselbe $x$). Daraus erhält man exakt die Langzeitdichte eines typischen Startwerts, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$, und $\lambda = \ln 2$.

Periodische Fenster treten im gesamten chaotisch wirkenden Bereich auf. Existiert ein anziehender Zyklus, nähern sich ihm typische Startwerte. Andernfalls zeigt die Spalte eine Langzeitstichprobe des angegebenen Anfangswerts und klassifiziert nicht alle möglichen Startwerte.

Häufige Missverständnisse

• Eine Diagrammspalte ist nicht der Verlauf einer einzelnen Bahn, sondern eine Langzeitstichprobe nach dem Überspringen der Anfangsphase. Wo diese langsam abklingt (nahe einer Bifurkation), wirkt die Spalte unscharf.
• Die Periode in der Zeile „Langzeitverhalten“ ist eine numerische Einschätzung: Wiederholung in drei aufeinanderfolgenden Fenstern, dasselbe Ergebnis bei mehr Iterationen und ein Multiplikator mit Betrag kleiner als 1. Eine Wiederholung in Gleitkommaarithmetik beweist keinen anziehenden Zyklus; wenn der Test nicht entscheiden kann, sagt die Zeile das.
• Das Vorzeichen von λ ist kein allgemeines Klassifikationskriterium: Bei $r = 4$ mit $x_0 = 3/4$ bewegt sich die Bahn nie, doch auch entlang dieser Bahn ist λ gleich $\ln 2$.
• Besondere Startwerte haben eigene Verläufe: Bei $r = 4$ gilt $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$, danach bleibt die Bahn bei 0. Alle solchen Startwerte zusammen haben Längenmaß 0; Aussagen über typische Startwerte bleiben daher gültig.

Geschichte

„Logistisch“ stammt von Verhulsts Differentialgleichung zum Bevölkerungswachstum von 1838. 1976 zeigte May mit dieser diskreten Abbildung in Nature, dass einfache Modelle sehr kompliziertes Verhalten erzeugen können [1]. Ulam und von Neumann hatten die invariante Dichte bei $r = 4$ bereits 1947 beschrieben [2]. 1978 fand Feigenbaum die universellen Konstanten der Periodenverdopplungskaskade [3], und Singer gab ein Kriterium für höchstens einen anziehenden Zyklus an [4].

Verwandte Begriffe

Mandelbrot-Menge · Lorenz-Attraktor · Fourierreihe (Seite geplant)

Quellen

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Logistic map (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Robert May (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Mitchell Feigenbaum (Englisch).