ロジスティック写像

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ロジスティック写像は、パラメーター $0 \le r \le 4$ を持ち、区間 $[0, 1]$ をそれ自身へ写す $f(x) = r x (1 - x)$ です。$x_0$ から始めて $x_{n+1} = f(x_n)$ を繰り返すと数列が得られます。このページでは、その長期挙動が $r$ とともにどう変わるかを見ます。

図が示すもの

大きな画像は分岐図で、横が $r$、縦が $x$ です。各列は中央の $r$ を取り、$x_0 = 1/\pi$ から始め、最初の $T$ 回を除いて次の $K$ 回の位置を記録します。明るいほど頻繁に訪れます。$T$ と $K$ は右上に表示され、拡大すると増えます。各列は1つの初期値の長期標本であり、軌道の全履歴ではありません。「典型的」とは長さの意味でほとんどすべての初期値を指します。$1/\pi$ を代表として使いますが、すべての $r$ で典型的だと証明しているわけではありません。

図の下のλ の帯は同じ $r$ 軸を使い、リアプノフ指数 $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ の数値推定を示します（同じ典型的初期値で1000回を除き、4000回を平均）。2つの初期値の無限小の差が広がる平均の指数率で、0未満なら差は平均的に縮み、0より大きければ広がります。超安定パラメーター（$\tfrac12$ が吸引周期軌道上にある）では $\lambda = -\infty$ です。数値的に求めたパラメーターの位置に、周期を添えた下向き矢印で表示します。

パネル上部のクモの巣図は、曲線 $y = f(x)$（または $f^2$、$f^3$、$f^4$）と対角線 $y = x$ を示します。$x_0$ から縦に曲線へ、横に対角線へ進んで1段です。塗りつぶし点は吸引不動点、白抜き点は反発不動点です。

キーで開く時系列は $n$ に対する $x_n$ を示し、右には軌道の $10^5$ 回分が40区間のそれぞれに入る割合を示します。$r = 4$ では濃い線が理論上の確率です。

この形になる理由

不動点 $x^* = 1 - 1/r$ の傾きは $f'(x^*) = 2 - r$ です。$1 < r < 3$ なら $|f'(x^*)| < 1$ で、近くの点を引き付けます。$r$ が3を越えると $f'(x^*)$ は $-1$ を下回り、吸引力を失います。その隣に2周期軌道 $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ が現れ、乗数は $4 + 2r - r^2$ です。この対は $f^2$ と対角線の新たな交点です。クモの巣図を $f^2$ に切り替えると見られます。$r = 1 + \sqrt6$ で2周期軌道の乗数は $-1$ に達し、今度はこの軌道が分かれます。

周期が倍になる間隔は次第に短くなり、$r_\infty \approx 3.5699$ に集積します。隣接間隔の比はファイゲンバウム定数 $\delta \approx 4.6692$ に近づきます。この写像だけでなく、2次の極大を持つ1つ山の写像のクラス全体で同じです（1978年にファイゲンバウムが発見し、後にランフォードが計算機を援用して証明）。

カオスの中の窓：$r$ が $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ を越えると $f^3$ が対角線に接し、吸引的なものと反発的なものの2つの3周期軌道が生まれます（乗数 $+1$ のサドルノード分岐）。窓の中では、独自の周期倍分岐が続きます。

$r = 4$ では $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$ です。$x = \sin^2(\pi u)$ と置くと、2倍写像 $u \mapsto 2u \bmod 1$ が $f$ に対応します（半共役：$u$ と $1 - u$ が同じ $x$ になります）。ここから典型的な初期値の長期密度 $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$ と $\lambda = \ln 2$ が厳密に得られます。

カオスに見える領域の至るところに周期の窓があります。吸引周期軌道があれば、典型的な初期値はそこへ近づきます。それ以外の場合、描いた列は指定した初期値の長期標本であり、あらゆる初期値を分類したものではありません。

読み違えやすいところ

• 分岐図の1列は1つの軌道の履歴ではなく、過渡部分を除いた長期標本です。分岐点付近など、過渡過程が遅い場所では列がぼやけます。
• 「長期挙動」の周期は数値的な判定です。連続する3つの区間で反復が見られ、反復回数を増やしても結果が同じで、乗数の絶対値が1未満であることを調べます。浮動小数点上の反復は吸引周期軌道の証明ではありません。判定できない場合はその旨を表示します。
• λ の符号で何でも分類できるわけではありません。$r = 4$、$x_0 = 3/4$ では軌道は動きませんが、その軌道に沿う λ も $\ln 2$ です。
• 特別な初期値には固有の行き先があります。$r = 4$ では $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ となり、0にとどまります。このような初期値全体の長さは0なので、典型的な初期値についての主張は変わりません。

歴史

「ロジスティック」は、フェルフルストが1838年に示した人口成長の微分方程式に由来します。メイは1976年の Nature 論文でこの離散写像を用い、単純なモデルでも非常に複雑に振る舞うことを示しました [1]。ウラムとフォン・ノイマンはすでに1947年に $r = 4$ の不変密度を指摘していました [2]。1978年にはファイゲンバウムが周期倍分岐の普遍定数を発見し [3]、シンガーが吸引周期軌道が高々1つとなる条件を示しました [4]。

関連する概念

マンデルブロ集合 · ローレンツアトラクター · フーリエ級数 (ページ準備中)

参考文献

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

さらに読む: ウィキペディア: Logistic map (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Robert May (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Mitchell Feigenbaum (英語).