Atractor extraño

Un atractor es un conjunto al que las órbitas que parten cerca de él se acercan cada vez más y junto al que permanecen; se llama extraño cuando tiene estructura fractal y revela nuevos detalles con cada aumento. Algunos autores usan la palabra para cualquier atractor caótico; aquí se refiere al tipo fractal. La página usa una estimación positiva del mayor exponente de Lyapunov como indicio numérico de caos ($\lambda_1 > 0$).

Cada aplicación de esta página es una regla que lleva cada punto del plano a un nuevo punto y se aplica una y otra vez: el tiempo es discreto y cada punto salta en cada paso. La imagen luminosa representa una densidad a largo plazo, la frecuencia con que las órbitas largas caen en cada píxel: una estimación estadística de cómo se visita el atractor. El resplandor y los colores son solo recursos de visualización.

Hénon (1976) construyó su aplicación a partir de tres movimientos: curvar $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, comprimir $(x, y) \to (b x,\, y)$ y reflejar $(x, y) \to (y, x)$. Juntos dan $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Curvar y reflejar conservan el área; comprimir la multiplica por $|b|$. Así, con $b = 0.3$, el área de cada región se multiplica por exactamente 0.3 en cada paso, y tras 12 pasos queda $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ de ella, todavía positiva. Iterar indefinidamente la región de atrapamiento da un conjunto límite de área nula. Las órbitas próximas se separan exponencialmente en promedio mientras siguen cerca ($\lambda_1 \approx 0.42$, cálculo numérico), de modo que una región se convierte en una banda cada vez más larga y delgada que se pliega sobre sí misma una y otra vez: capas.

Soltar muestra los primeros 12 pasos de una región de puntos iniciales. Los puntos de su cuenca se acercan al atractor a largo plazo, generalmente sin caer sobre él en un número finito de pasos, así que el final de los 12 pasos no es una llegada; los parámetros degenerados son la excepción: con $u = 0$, la aplicación de Ikeda lleva todos los puntos a su punto fijo $(1,\ 0)$ en un solo paso. Ningún punto sale del cuadrilátero de Hénon con $a = 1.4,\ b = 0.3$, porque su imagen queda dentro de él; con otros parámetros, la región inicial puede extenderse más allá de la región atraída, y esos puntos escapan. La aplicación de Ikeda se descompone en retorcer, contraer (área $\times u^2$) y trasladar; la de Clifford no se descompone en movimientos simples.

Tras los 12 pasos, los mismos puntos continúan unos cientos de pasos más, y sus llegadas se acumulan para producir brillo. La página compara sus recuentos normalizados con la densidad a largo plazo en una cuadrícula de baja resolución dentro de la vista actual e indica la diferencia medida. Una diferencia pequeña es una observación numérica a esa resolución, no una demostración de que los puntos hayan alcanzado el atractor. Otras regiones iniciales pueden acercarse a otro atractor o escapar.

Cerca del punto de silla $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$, la aplicación linealizada contrae una dirección por un factor $\mu_s \approx 0.156$ en cada paso. Sumergirse usa el recíproco, aproximadamente $1/\mu_s \approx 6.41$, para elegir aumentos sucesivos alrededor de P. Esto permite comparar capas próximas a escalas relacionadas. El multiplicador describe la dirección estable local; no demuestra que toda la imagen se repita al ampliar uniformemente. Las capas mostradas son muestras numéricas finitas.

Una dimensión entre 1 y 2 mide la estructura en capas. La dimensión de Kaplan–Yorke $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ es aproximadamente 1.26 para el atractor de Hénon, y el conteo de cajas a las escalas que alcanza un ordenador da aproximadamente entre 1.2 y 1.26. Son dos estimaciones distintas, ambas numéricas.

Muchos pósteres titulados «atractor extraño» usan aplicaciones como la de Clifford, que pliegan el plano a lo largo de las curvas donde $\det J = 0$. Los hilos brillantes se sitúan sobre las imágenes de esos pliegues, las curvas críticas: la densidad se acumula allí. Para los parámetros de esta página, $\lambda_1 > 0$, por lo que la órbita es caótica, pero $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ y el conteo de cajas se acerca a 2 a las escalas calculadas; estos números no muestran una estructura en capas, aunque tampoco demuestran que el atractor llene un área. También hay atractores extraños que no son caóticos (Grebogi y otros, 1984).

Una imagen de ordenador no permite distinguir un atractor extraño de un ciclo de período muy largo. Benedicks y Carleson (1991) demostraron que la aplicación de Hénon tiene atractores extraños para muchos parámetros cerca de $a = 2$ con $b$ pequeño; para los valores clásicos $a = 1.4,\ b = 0.3$ no hay una demostración aceptada. Misiurewicz (1980) demostró la existencia de atractores extraños para la aplicación de Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ en un rango de parámetros que contiene $(1.75,\, 0.3)$, pero no los valores $(1.7,\, 0.5)$ del propio Lozi. Tucker (2002) demostró que el atractor de Lorenz es un atractor extraño. Con $b = 0$, un solo paso sitúa todos los puntos en la recta $y = 0$, donde la aplicación de Hénon es $x \to 1 - a x^2$; para $a > 0$, esa es la aplicación logística en otras coordenadas ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Aplicación logística
• WA01Atractor de Lorenz
• WB01Conjunto de Mandelbrot

Para saber más: Wikipedia: Attractor (Inglés); Wikipedia: Hénon map (Inglés).