Aplicación logística

La aplicación logística en esta visualización

La aplicación logística es la aplicación $f(x) = r x (1 - x)$ del intervalo $[0, 1]$ en sí mismo, con un parámetro $0 \le r \le 4$. Partir de $x_0$ y aplicar $x_{n+1} = f(x_n)$ una y otra vez genera una sucesión; esta página trata de cómo cambia su comportamiento a largo plazo con $r$.

Qué muestran las imágenes

El diagrama de bifurcación, la imagen grande: $r$ en horizontal, $x$ en vertical. Cada columna toma el $r$ de su centro, empieza desde $x_0 = 1/\pi$, omite los primeros $T$ pasos y registra dónde caen los siguientes $K$; cuanto más brillante, más frecuente. $T$ y $K$ aparecen en la esquina superior derecha y crecen al ampliar. Así, cada columna es una muestra a largo plazo de un inicio, no toda la historia de una órbita. «Típico» significa casi cualquier inicio (en el sentido de longitud); $1/\pi$ los representa, sin demostrar que sea típico para todo $r$.

La franja λ, debajo del diagrama con el mismo eje $r$: una estimación numérica del exponente de Lyapunov $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (el mismo inicio típico, 1000 pasos omitidos y 4000 promediados). Es la tasa exponencial media a la que crece una diferencia infinitesimal entre dos inicios: por debajo de 0, esas diferencias se reducen en promedio; por encima de 0, crecen. En un parámetro superestable ($\tfrac12$ pertenece al ciclo atractor), $\lambda = -\infty$; se dibuja como una flecha hacia abajo, etiquetada con el periodo, en el parámetro hallado numéricamente.

El diagrama de telaraña, en la cabecera del panel: la curva $y = f(x)$ (o $f^2$, $f^3$, $f^4$) y la diagonal $y = x$. Subir desde $x_0$ hasta la curva y avanzar horizontalmente hasta la diagonal: un paso. Los puntos rellenos son puntos fijos atractores; los huecos, repulsores.

La serie temporal, a una tecla: $x_n$ frente a $n$ y, a la derecha, la proporción de $10^5$ pasos de esta órbita en cada uno de 40 intervalos; en $r = 4$, la línea de tinta es la probabilidad teórica.

Por qué tiene este aspecto

En el punto fijo $x^* = 1 - 1/r$, la pendiente es $f'(x^*) = 2 - r$. Para $1 < r < 3$, $|f'(x^*)| < 1$ y atrae a sus vecinos. Al superar $r$ el valor 3, $f'(x^*)$ cruza $-1$: deja de atraer y aparece a su lado un ciclo de periodo 2, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$, con multiplicador $4 + 2r - r^2$. El par está donde $f^2$ vuelve a cortar la diagonal; cambia la telaraña a $f^2$ para verlo. En $r = 1 + \sqrt6$, el multiplicador del ciclo de periodo 2 alcanza $-1$ y este se divide a su vez.

Las duplicaciones llegan cada vez más deprisa y se acumulan en $r_\infty \approx 3.5699$. El cociente entre separaciones sucesivas tiende a la constante de Feigenbaum $\delta \approx 4.6692$, no solo para esta aplicación: es la misma para toda una clase de aplicaciones unimodales con máximo cuadrático (hallada por Feigenbaum en 1978 y demostrada después por Lanford con ayuda de ordenador).

Una ventana dentro del caos: al superar $r$ el valor $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$, $f^3$ toca la diagonal y nace un par de ciclos de periodo 3, uno atractor y otro repulsor (bifurcación silla-nodo, multiplicador $+1$). Dentro de la ventana aparece su propia cascada de duplicación de periodo.

En $r = 4$, $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: la sustitución $x = \sin^2(\pi u)$ lleva la aplicación de duplicación $u \mapsto 2u \bmod 1$ a $f$ (una semiconjugación: $u$ y $1 - u$ dan el mismo $x$). De ahí se obtienen exactamente la densidad a largo plazo de un inicio típico, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$, y $\lambda = \ln 2$.

Hay ventanas periódicas por toda la región de aspecto caótico. Cuando existe un ciclo atractor, los inicios típicos se aproximan a él; en caso contrario, la columna representada es una muestra a largo plazo del valor inicial indicado, no una clasificación de todos los inicios posibles.

Posibles confusiones

• Una columna del diagrama no es la historia de una órbita, sino una muestra a largo plazo tras omitir el transitorio; donde este es lento (cerca de una bifurcación), la columna parece borrosa.
• El periodo de la línea «a largo plazo» es un dictamen numérico: una repetición en tres ventanas consecutivas, la misma respuesta con más iteraciones y un multiplicador de valor absoluto menor que 1. Una repetición en coma flotante no demuestra un ciclo atractor; cuando la prueba no puede decidir, la línea lo indica.
• El signo de λ no es un clasificador universal: en $r = 4$ con $x_0 = 3/4$, la órbita nunca se mueve, pero λ a lo largo de ella también es $\ln 2$.
• Los inicios especiales tienen sus propios destinos: en $r = 4$, $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ y permanece en 0. Todos esos inicios juntos tienen longitud 0, así que lo dicho sobre los inicios típicos sigue siendo válido.

Historia

«Logística» procede de la ecuación diferencial de Verhulst de 1838 para el crecimiento poblacional. En 1976, May usó esta aplicación discreta en Nature para mostrar que modelos sencillos pueden comportarse de formas muy complejas [1]. Ulam y von Neumann ya habían observado la densidad invariante en $r = 4$ en 1947 [2]. En 1978, Feigenbaum halló las constantes universales de la cascada de duplicación de periodo [3], y Singer dio el criterio para que haya como máximo un ciclo atractor [4].

Conceptos relacionados

Conjunto de Mandelbrot · Atractor de Lorenz · Serie de Fourier (página prevista)

Referencias

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Para saber más: Wikipedia: Logistic map (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Robert May (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Mitchell Feigenbaum (Inglés).