Mappa logistica

La mappa logistica in questa visualizzazione

La mappa logistica è l’applicazione $f(x) = r x (1 - x)$ dell’intervallo $[0, 1]$ in sé stesso, con un parametro $0 \le r \le 4$. Partire da $x_0$ e applicare $x_{n+1} = f(x_n)$ ripetutamente genera una successione; questa pagina mostra come il suo comportamento a lungo termine cambia con $r$.

Cosa mostrano le immagini

Il diagramma di biforcazione, l’immagine grande: $r$ in orizzontale, $x$ in verticale. Ogni colonna prende il $r$ nel suo centro, parte da $x_0 = 1/\pi$, salta i primi $T$ passi e registra dove arrivano i successivi $K$; più luminoso significa più frequente. $T$ e $K$ sono scritti nell’angolo in alto a destra e crescono con l’ingrandimento. Ogni colonna è quindi un campione a lungo termine di una partenza, non tutta la storia di un’orbita. «Tipica» significa quasi ogni partenza (nel senso della lunghezza); $1/\pi$ le rappresenta, senza dimostrare che sia tipica per ogni $r$.

La striscia λ, sotto il diagramma sullo stesso asse $r$: una stima numerica dell’esponente di Lyapunov $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (stessa partenza tipica, 1000 passi saltati, media su 4000). È il tasso esponenziale medio di crescita di una differenza infinitesima tra due partenze: sotto 0 tali differenze si riducono in media, sopra 0 crescono. A un parametro superstabile ($\tfrac12$ appartiene al ciclo attrattivo) $\lambda = -\infty$; è rappresentato da una freccia verso il basso, con il periodo indicato, nel parametro trovato numericamente.

Il diagramma a ragnatela, in cima al pannello: la curva $y = f(x)$ (oppure $f^2$, $f^3$, $f^4$) e la diagonale $y = x$. Da $x_0$ in verticale fino alla curva, poi in orizzontale fino alla diagonale: un passo. I punti pieni sono punti fissi attrattivi, quelli vuoti repulsivi.

La serie temporale, accessibile con un tasto: $x_n$ in funzione di $n$ e, alla sua destra, la quota dei $10^5$ passi di questa orbita in ciascuno di 40 intervalli; per $r = 4$ la linea scura è la probabilità teorica.

Perché ha questa forma

Nel punto fisso $x^* = 1 - 1/r$ la pendenza è $f'(x^*) = 2 - r$. Per $1 < r < 3$, $|f'(x^*)| < 1$ e attrae i punti vicini. Quando $r$ supera 3, $f'(x^*)$ supera $-1$: perde l’attrazione e accanto compare un ciclo di periodo 2, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$, con moltiplicatore $4 + 2r - r^2$. La coppia si trova dove $f^2$ incontra per la prima volta la diagonale — passa la ragnatela a $f^2$ per vederlo. In $r = 1 + \sqrt6$ il moltiplicatore del ciclo di periodo 2 raggiunge $-1$ e anche esso si divide.

I raddoppiamenti arrivano sempre più rapidamente e si accumulano in $r_\infty \approx 3.5699$. Il rapporto tra distanze successive tende alla costante di Feigenbaum $\delta \approx 4.6692$, e non solo per questa mappa: è lo stesso per un’intera classe di mappe a una gobba con massimo quadratico (trovato da Feigenbaum nel 1978, dimostrato in seguito da Lanford con l’aiuto del computer).

Una finestra nel caos: quando $r$ supera $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$, $f^3$ tocca la diagonale e nasce una coppia di cicli di periodo 3, uno attrattivo e uno repulsivo (una biforcazione sella-nodo, moltiplicatore $+1$). Dentro la finestra compare una propria cascata di raddoppiamenti del periodo.

Per $r = 4$, $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: ponendo $x = \sin^2(\pi u)$ si trasporta la mappa del raddoppiamento $u \mapsto 2u \bmod 1$ su $f$ (una semiconiugazione: $u$ e $1 - u$ danno lo stesso $x$). Da qui si ricavano esattamente la densità a lungo termine di una partenza tipica, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$, e $\lambda = \ln 2$.

Le finestre periodiche compaiono in tutta la regione dall’aspetto caotico. Quando esiste un ciclo attrattivo, le partenze tipiche vi si avvicinano; altrimenti la colonna disegnata è un campione a lungo termine del valore iniziale indicato, non una classificazione di tutte le partenze possibili.

Possibili equivoci

• Una colonna del diagramma non è la storia di un’orbita, ma un campione a lungo termine dopo aver eliminato il transitorio; dove il transitorio è lento (vicino a una biforcazione), la colonna appare sfocata.
• Il periodo nella riga «a lungo termine» è una conclusione numerica: ripetizione su tre finestre consecutive, stesso risultato con più iterazioni, moltiplicatore di modulo minore di 1. Una ripetizione in virgola mobile non dimostra l’esistenza di un ciclo attrattivo; quando il test non decide, la riga lo segnala.
• Il segno di λ non è un classificatore universale: per $r = 4$ con $x_0 = 3/4$ l’orbita non si muove mai, ma anche lungo di essa λ vale $\ln 2$.
• Le partenze particolari hanno destini propri: per $r = 4$, $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ e resta in 0. Tutte queste partenze insieme hanno lunghezza 0, quindi quanto detto sulle partenze tipiche resta valido.

Storia

«Logistica» viene dall’equazione differenziale di Verhulst del 1838 per la crescita delle popolazioni. Nel 1976 May usò questa mappa discreta su Nature per mostrare che modelli semplici possono comportarsi in modi molto complessi [1]. Ulam e von Neumann avevano già osservato la densità invariante per $r = 4$ nel 1947 [2]. Nel 1978 Feigenbaum trovò le costanti universali della cascata di raddoppiamenti [3] e Singer diede il criterio per avere al massimo un ciclo attrattivo [4].

Concetti collegati

Insieme di Mandelbrot · Attrattore di Lorenz · Serie di Fourier (pagina in programma)

Riferimenti

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Per approfondire: Wikipedia: Logistic map (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Robert May (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Mitchell Feigenbaum (Inglese).