Lojistik dönüşüm

Bu görselleştirmede lojistik dönüşüm

Lojistik dönüşüm, $0 \le r \le 4$ parametresiyle $[0, 1]$ aralığını kendisine götüren $f(x) = r x (1 - x)$ dönüşümüdür. $x_0$ başlangıcından $x_{n+1} = f(x_n)$ işlemini tekrar tekrar uygulamak bir dizi verir; bu sayfa dizinin uzun vadeli davranışının $r$ ile nasıl değiştiğini inceler.

Görseller ne gösteriyor?

Çatallanma diyagramı, büyük görsel: yatayda $r$, düşeyde $x$. Her sütun merkezindeki $r$ değerini alır, $x_0 = 1/\pi$ ile başlar, ilk $T$ adımı atlar ve sonraki $K$ adımın nereye düştüğünü kaydeder; daha parlak, daha sık demektir. $T$ ve $K$ sağ üst köşede yazılır ve yakınlaştıkça büyür. Dolayısıyla sütun yörüngenin tüm geçmişi değil, tek başlangıcın uzun vadeli örneklemidir. “Tipik”, (uzunluk anlamında) hemen hemen her başlangıç demektir; $1/\pi$ onları temsil eder, ancak her $r$ için tipik olduğunun kanıtı yoktur.

Diyagramın altında aynı $r$ eksenindeki λ şeridi, $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ Lyapunov üssünün sayısal tahminidir (aynı tipik başlangıç, 1000 adım atlanır, 4000 adımın ortalaması alınır). İki başlangıç arasındaki sonsuz küçük farkın ortalama üstel büyüme hızıdır: 0 altında farklar ortalamada küçülür, 0 üstünde büyür. Süper kararlı parametrede ($\tfrac12$ çekici döngü üzerindedir) $\lambda = -\infty$ olur; sayısal bulunan parametrede periyot etiketli aşağı okla çizilir.

Panelin başındaki örümcek ağı grafiği: $y = f(x)$ eğrisi (veya $f^2$, $f^3$, $f^4$) ve $y = x$ köşegeni. $x_0$ noktasından eğriye yukarı, köşegene yatay: bir adım. Dolu noktalar çekici, boş noktalar itici sabit noktalardır.

Tek tuşla açılan zaman serisi: $n$'ye göre $x_n$; sağında, bu yörüngenin $10^5$ adımının 40 kutunun her birindeki payı. $r = 4$ için koyu çizgi kuramsal olasılıktır.

Neden böyle görünüyor?

$x^* = 1 - 1/r$ sabit noktasında eğim $f'(x^*) = 2 - r$ olur. $1 < r < 3$ için $|f'(x^*)| < 1$ sağlanır ve komşularını çeker. $r$, 3'ü geçince $f'(x^*)$, $-1$ değerini geçer: çekicilik kaybolur; yanında $4 + 2r - r^2$ çarpanlı $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ 2 periyotlu döngü belirir. Çift, $f^2$ eğrisinin köşegenle yeni kesiştiği yerdir; görmek için örümcek ağını $f^2$ yapın. $r = 1 + \sqrt6$ değerinde 2 periyotlu döngünün çarpanı $-1$ olur ve o da bölünür.

Katlanmalar giderek hızlanır ve $r_\infty \approx 3.5699$ noktasında birikir. Ardışık aralıkların oranı Feigenbaum sabiti $\delta \approx 4.6692$ değerine yaklaşır; yalnızca bu dönüşümde değil, ikinci dereceden maksimuma sahip bütün bir tek tepeli dönüşüm sınıfında aynıdır (Feigenbaum 1978'de buldu; sonra Lanford bilgisayar desteğiyle kanıtladı).

Kaos içindeki pencere: $r$, $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ değerini geçince $f^3$ köşegene değer; biri çekici, diğeri itici iki 3 periyotlu döngü doğar (eyer-düğüm çatallanması, çarpan $+1$). Pencerenin içinde kendi periyot katlanması dizisi bulunur.

$r = 4$ için $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: $x = \sin^2(\pi u)$ koymak, $u \mapsto 2u \bmod 1$ ikiye katlama dönüşümünü $f$ üzerine taşır (yarı eşleniklik: $u$ ve $1 - u$ aynı $x$ değerini verir). Buradan tipik başlangıcın uzun vadeli yoğunluğu $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$ ve $\lambda = \ln 2$ tam olarak elde edilir.

Kaotik görünen bölgenin her yanında periyodik pencereler bulunur. Çekici döngü varsa tipik başlangıçlar ona yaklaşır; yoksa çizilen sütun tüm başlangıçların sınıflandırması değil, belirtilen başlangıç değerinin uzun vadeli örneklemidir.

Yanlış yorumlamaya açık noktalar

• Diyagramın sütunu bir yörüngenin geçmişi değil, geçici dönem atıldıktan sonraki uzun vadeli örneklemdir. Geçici dönem yavaşsa (çatallanma yakınında) sütun bulanık görünür.
• “Uzun vade” satırındaki periyot sayısal karardır: art arda üç pencerede tekrar, daha çok yinelemede aynı yanıt ve mutlak değeri 1'den küçük çarpan. Kayan noktalı tekrar çekici döngü kanıtı değildir; sınama karar veremediğinde satır bunu söyler.
• λ işareti evrensel sınıflandırıcı değildir: $r = 4$ ve $x_0 = 3/4$ için yörünge hiç hareket etmez, ama üzerindeki λ yine $\ln 2$ olur.
• Özel başlangıçların kendi kaderi vardır: $r = 4$ için $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ olur ve 0'da kalır. Bu tür başlangıçların tümünün uzunluğu 0'dır; dolayısıyla tipik başlangıçlar hakkında söylenenler geçerliliğini korur.

Tarihçe

“Lojistik” adı Verhulst'un 1838 nüfus artışı diferansiyel denkleminden gelir. May 1976'da Nature'da bu ayrık dönüşümü kullanarak basit modellerin çok karmaşık davranabileceğini gösterdi [1]. Ulam ve von Neumann $r = 4$ için değişmez yoğunluğu 1947'de zaten belirtmişti [2]. Feigenbaum 1978'de periyot katlanması dizisinin evrensel sabitlerini buldu [3]; Singer en fazla bir çekici döngü için ölçüt verdi [4].

İlgili kavramlar

Mandelbrot kümesi · Lorenz çekicisi · Fourier serisi (sayfa planlanıyor)

Kaynaklar

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Ek okumalar: Vikipedi: Logistic map (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Robert May (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Mitchell Feigenbaum (İngilizce).