邏輯斯諦映射

這個視覺化中的邏輯斯諦映射

邏輯斯諦映射是從區間 $[0, 1]$ 到自身的映射 $f(x) = r x (1 - x)$，參數為 $0 \le r \le 4$。從 $x_0$ 出發，反覆套用 $x_{n+1} = f(x_n)$，便得到一個數列；本頁探討其長期結果如何隨 $r$ 改變。

各圖顯示什麼

分岔圖，也就是大圖：橫軸 $r$、縱軸 $x$。每個直行取其中央的 $r$，從 $x_0 = 1/\pi$ 出發，略過前 $T$ 步，再記錄接下來 $K$ 步的落點；愈亮代表造訪愈多次。$T$ 與 $K$ 顯示在右上角，放大時會增加。因此，每個直行是一個起點的長期樣本，不是某條軌道的完整歷史。「典型」意指幾乎所有起點（以長度衡量）；本頁以 $1/\pi$ 代表它們，但沒有證明它對每個 $r$ 都是典型起點。

λ 帶位於分岔圖下方，共用 $r$ 軸：數值估計 Lyapunov 指數 $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$（使用相同典型起點，略過 1000 步，再取 4000 步平均）。它是兩個起點間無窮小差異成長的平均指數速率：小於 0 表示差異平均會縮小，大於 0 則會增長。在超穩定參數（$\tfrac12$ 位於吸引週期軌道上），$\lambda = -\infty$；圖中在數值求得的參數位置，畫一個向下箭頭並標示週期。

蛛網圖位於面板頂端：顯示曲線 $y = f(x)$（或 $f^2$、$f^3$、$f^4$）及對角線 $y = x$。從 $x_0$ 向上到曲線，再水平移到對角線，算一步。實心點是吸引不動點，空心點是排斥不動點。

時間序列只需一個按鈕即可開啟：顯示 $x_n$ 隨 $n$ 的變化；右側顯示此軌道 $10^5$ 步在 40 個區間中的比例。在 $r = 4$ 時，墨色線是理論機率。

為什麼會長成這樣

不動點 $x^* = 1 - 1/r$ 的斜率是 $f'(x^*) = 2 - r$。當 $1 < r < 3$ 時，$|f'(x^*)| < 1$，它會吸引鄰近點。當 $r$ 越過 3，$f'(x^*)$ 越過 $-1$：它失去吸引力，兩旁出現一條 2 週期軌道 $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$，乘子為 $4 + 2r - r^2$。這對點就是 $f^2$ 新增的對角線交點；將蛛網切換為 $f^2$ 就能看見。在 $r = 1 + \sqrt6$，2 週期軌道的乘子達到 $-1$，接著也發生倍週期分岔。

倍週期分岔愈來愈密，累積在 $r_\infty \approx 3.5699$。相鄰間距比趨近 Feigenbaum 常數 $\delta \approx 4.6692$，而且不只此映射如此：一整類具有二次極大值的單峰映射，都有相同常數（Feigenbaum 於 1978 年發現，後由 Lanford 借助電腦證明）。

混沌中的窗口：當 $r$ 越過 $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$，$f^3$ 碰到對角線，誕生一對 3 週期軌道，一條具吸引性，一條具排斥性（鞍結分岔，乘子 $+1$）。窗口內又會出現自己的倍週期分岔序列。

在 $r = 4$，$f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$：令 $x = \sin^2(\pi u)$，即可把倍增映射 $u \mapsto 2u \bmod 1$ 對應到 $f$（半共軛：$u$ 與 $1 - u$ 給出相同的 $x$）。由此可精確求得典型起點的長期密度 $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$，以及 $\lambda = \ln 2$。

看似混沌的區域中，週期窗口處處可見。有吸引週期軌道時，典型起點會趨近它；否則，所畫直行只是指定起始值的長期樣本，不是對所有可能起點的分類。

容易誤解的地方

• 分岔圖的一個直行不是某條軌道的歷史，而是去掉暫態後的長期樣本；暫態消退緩慢時（接近分岔），直行看起來會模糊。
• 「長期結果」中的週期是數值判定：連續三個取樣窗口重複、增加迭代次數仍得到相同答案，且乘子絕對值小於 1。浮點數中出現重複，不等於證明有吸引週期軌道；無法判定時，讀值會明確說明。
• λ 的正負不是通用分類法：在 $r = 4$，若 $x_0 = 3/4$，軌道完全不動，但沿此軌道的 λ 仍是 $\ln 2$。
• 特殊起點有自己的去向：在 $r = 4$，$x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$，之後停在 0。所有這類起點的總長度為 0，因此關於典型起點的敘述仍成立。

歷史

「Logistic」一詞來自 Verhulst 於 1838 年提出的人口成長微分方程。1976 年，May 在《Nature》以此離散映射展示簡單模型也能產生極複雜行為 [1]。Ulam 與 von Neumann 早在 1947 年已注意到 $r = 4$ 時的不變密度 [2]。1978 年，Feigenbaum 發現倍週期分岔序列的普適常數 [3]，Singer 則提出至多只有一條吸引週期軌道的判準 [4]。

相關概念

Mandelbrot 集 · Lorenz 吸引子 · 傅立葉級數 (頁面規劃中)

參考資料

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

延伸閱讀: 維基百科: Logistic map (英文); MacTutor 數學史資料庫: Robert May (英文); MacTutor 數學史資料庫: Mitchell Feigenbaum (英文).