Suite logistique : diagramme de bifurcation interactif

La suite logistique dans cette visualisation

L’application logistique est l’application $f(x) = r x (1 - x)$ de l’intervalle $[0, 1]$ dans lui-même, avec un paramètre $0 \le r \le 4$ . Partir de $x_0$ et appliquer $x_{n+1} = f(x_n)$ à répétition donne une suite ; cette page montre comment son régime à long terme change avec $r$ .

x_{n+1} = r\,x_n\,(1 - x_n),\qquad x_n \in [0, 1],\qquad 0 \le r \le 4

Ce que montrent les images

Le diagramme de bifurcation, la grande image : $r$ à l’horizontale, $x$ à la verticale. Chaque colonne prend le $r$ de son centre, part de $x_0 = 1/\pi$ , ignore les $T$ premières étapes et relève où arrivent les $K$ suivantes ; plus c’est lumineux, plus les visites sont fréquentes. $T$ et $K$ sont indiqués en haut à droite et augmentent avec le zoom. Chaque colonne est donc un échantillon à long terme d’un départ, pas toute l’histoire d’une orbite. « Typique » signifie presque tout départ (au sens de la longueur) ; $1/\pi$ les représente, sans preuve qu’il est typique pour chaque $r$ .

La bande λ, sous le diagramme sur le même axe $r$ : une estimation numérique de l’exposant de Lyapunov $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (même départ typique, 1000 étapes ignorées, moyenne sur 4000). C’est le taux exponentiel moyen de croissance d’un écart infinitésimal entre deux départs : en dessous de 0, ces écarts diminuent en moyenne ; au-dessus, ils augmentent. Pour un paramètre superstable ( $\tfrac12$ appartient au cycle attractif), $\lambda = -\infty$ ; il est représenté par une flèche vers le bas, étiquetée avec la période, au paramètre trouvé numériquement.

Le diagramme en toile d’araignée, en tête du panneau : la courbe $y = f(x)$ (ou $f^2$ , $f^3$ , $f^4$ ) et la diagonale $y = x$ . Monter depuis $x_0$ jusqu’à la courbe, puis aller horizontalement jusqu’à la diagonale : un pas. Les points pleins sont des points fixes attractifs, les points creux des points répulsifs.

La série temporelle, accessible par une touche : $x_n$ en fonction de $n$ , et à sa droite la proportion des $10^5$ étapes de cette orbite dans chacun des 40 intervalles ; pour $r = 4$ , la ligne à l’encre donne la probabilité théorique.

Pourquoi cette forme

Au point fixe $x^* = 1 - 1/r$ , la pente vaut $f'(x^*) = 2 - r$ . Pour $1 < r < 3$ , $|f'(x^*)| < 1$ et le point attire ses voisins. Lorsque $r$ dépasse 3, $f'(x^*)$ franchit $-1$ : le point perd son attraction, et un cycle de période 2 apparaît à côté, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ , de multiplicateur $4 + 2r - r^2$ . La paire correspond aux nouvelles intersections de $f^2$ avec la diagonale — passez la toile à $f^2$ pour les voir. En $r = 1 + \sqrt6$ , le multiplicateur du cycle de période 2 atteint $-1$ et le cycle se dédouble à son tour.

Les doublements arrivent de plus en plus vite et s’accumulent en $r_\infty \approx 3.5699$ . Le rapport des espacements successifs tend vers la constante de Feigenbaum $\delta \approx 4.6692$ , et pas seulement pour cette application : il est identique pour toute une classe d’applications à une bosse, avec un maximum quadratique (découvert par Feigenbaum en 1978, puis démontré avec assistance informatique par Lanford).

Une fenêtre dans le chaos : lorsque $r$ dépasse $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ , $f^3$ touche la diagonale et deux cycles de période 3 naissent, l’un attractif, l’autre répulsif (bifurcation selle-nœud, multiplicateur $+1$ ). La fenêtre contient sa propre cascade de doublements de période.

Pour $r = 4$ , $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$ : poser $x = \sin^2(\pi u)$ transforme l’application de doublement $u \mapsto 2u \bmod 1$ en $f$ (une semi-conjugaison : $u$ et $1 - u$ donnent le même $x$ ). On en déduit exactement la densité à long terme d’un départ typique, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$ , ainsi que $\lambda = \ln 2$ .

Des fenêtres périodiques apparaissent dans toute la région d’aspect chaotique. Lorsqu’un cycle attractif existe, les départs typiques s’en rapprochent ; sinon, la colonne tracée est un échantillon à long terme de la valeur initiale indiquée, pas une classification de tous les départs possibles.

À ne pas confondre

Une colonne du diagramme n’est pas l’histoire d’une orbite, mais un échantillon à long terme après suppression du régime transitoire ; lorsque celui-ci est lent (près d’une bifurcation), la colonne paraît floue.
La période de la ligne « à long terme » est un verdict numérique : répétition sur trois fenêtres consécutives, même résultat avec plus d’itérations, multiplicateur de valeur absolue inférieure à 1. Une répétition en virgule flottante ne prouve pas l’existence d’un cycle attractif ; lorsque le test ne peut pas conclure, la ligne le précise.
Le signe de λ n’est pas un critère universel : pour $r = 4$ avec $x_0 = 3/4$ , l’orbite reste immobile, mais λ le long de celle-ci vaut aussi $\ln 2$ .
Les départs particuliers ont leur propre destin : pour $r = 4$ , $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ puis l’orbite reste en 0. L’ensemble de ces départs a une longueur nulle ; les affirmations sur les départs typiques restent donc valables.

Histoire

« Logistique » vient de l’équation différentielle de Verhulst sur la croissance des populations, en 1838. En 1976, May a utilisé cette application discrète dans Nature pour montrer que des modèles simples peuvent avoir des comportements très complexes [1]. Ulam et von Neumann avaient déjà remarqué la densité invariante pour $r = 4$ en 1947 [2]. En 1978, Feigenbaum a trouvé les constantes universelles de la cascade de doublements de période [3], et Singer a donné le critère garantissant au plus un cycle attractif [4].

Concepts associés

Références

R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Pour aller plus loin: Wikipédia: Logistic map (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Robert May (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Mitchell Feigenbaum (Anglais).