Aplicação logística

A aplicação logística nesta visualização

A aplicação logística é a aplicação $f(x) = r x (1 - x)$ do intervalo $[0, 1]$ em si mesmo, com parâmetro $0 \le r \le 4$. Partir de $x_0$ e aplicar $x_{n+1} = f(x_n)$ repetidamente produz uma sucessão; esta página mostra como o seu comportamento a longo prazo varia com $r$.

O que mostram as imagens

O diagrama de bifurcação, a imagem maior: $r$ na horizontal, $x$ na vertical. Cada coluna usa o $r$ do seu centro, começa em $x_0 = 1/\pi$, omite os primeiros $T$ passos e regista onde chegam os $K$ seguintes; quanto mais brilhante, mais frequente. $T$ e $K$ aparecem no canto superior direito e aumentam ao ampliar. Cada coluna é, assim, uma amostra de longo prazo de um início, não toda a história de uma órbita. «Típico» significa quase todos os inícios (no sentido da medida de comprimento); $1/\pi$ representa-os, sem prova de que seja típico para todos os $r$.

A faixa λ, sob o diagrama e no mesmo eixo $r$: uma estimativa numérica do expoente de Lyapunov $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (o mesmo início típico, 1000 passos omitidos e média de 4000). É a taxa exponencial média de crescimento de uma diferença infinitesimal entre dois inícios: abaixo de 0, essas diferenças diminuem em média; acima de 0, crescem. Num parâmetro superestável ($\tfrac12$ pertence ao ciclo atrator), $\lambda = -\infty$; representa-se por uma seta para baixo, identificada com o período, no parâmetro encontrado numericamente.

O diagrama de teia, no topo do painel: a curva $y = f(x)$ (ou $f^2$, $f^3$, $f^4$) e a diagonal $y = x$. Subir de $x_0$ até à curva e avançar horizontalmente até à diagonal: um passo. Os pontos cheios são pontos fixos atratores; os vazios, repulsores.

A série temporal, acessível por uma tecla: $x_n$ em função de $n$ e, à direita, a proporção dos $10^5$ passos desta órbita em cada uma de 40 classes; em $r = 4$, a linha escura dá a probabilidade teórica.

Por que tem este aspeto

No ponto fixo $x^* = 1 - 1/r$, o declive é $f'(x^*) = 2 - r$. Para $1 < r < 3$, $|f'(x^*)| < 1$ e o ponto atrai os seus vizinhos. Quando $r$ ultrapassa 3, $f'(x^*)$ passa por $-1$: deixa de atrair e surge ao seu lado um ciclo de período 2, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$, com multiplicador $4 + 2r - r^2$. O par corresponde aos novos encontros de $f^2$ com a diagonal — mude a teia para $f^2$ para os ver. Em $r = 1 + \sqrt6$, o multiplicador do ciclo de período 2 atinge $-1$, e este também se divide.

As duplicações surgem cada vez mais depressa e acumulam-se em $r_\infty \approx 3.5699$. A razão entre espaçamentos sucessivos tende para a constante de Feigenbaum $\delta \approx 4.6692$, e não apenas nesta aplicação: é a mesma para toda uma classe de aplicações com um único máximo quadrático (descoberta por Feigenbaum em 1978 e demonstrada mais tarde por Lanford com auxílio de computador).

Uma janela dentro do caos: quando $r$ ultrapassa $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$, $f^3$ toca a diagonal e nasce um par de ciclos de período 3, um atrator e outro repulsor (uma bifurcação sela-nó, multiplicador $+1$). Dentro da janela surge a sua própria cascata de duplicação do período.

Em $r = 4$, $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: a substituição $x = \sin^2(\pi u)$ leva a aplicação de duplicação $u \mapsto 2u \bmod 1$ a $f$ (uma semiconjugação: $u$ e $1 - u$ dão o mesmo $x$). Daqui obtém-se exatamente a densidade a longo prazo de um início típico, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$, e $\lambda = \ln 2$.

Há janelas periódicas por toda a região de aspeto caótico. Quando existe um ciclo atrator, os inícios típicos aproximam-se dele; caso contrário, a coluna representada é uma amostra de longo prazo do valor inicial indicado, não uma classificação de todos os inícios possíveis.

Equívocos frequentes

• Uma coluna do diagrama não é a história de uma órbita, mas uma amostra de longo prazo após excluir o transitório; onde o transitório é lento (perto de uma bifurcação), a coluna parece difusa.
• O período na linha «a longo prazo» é um veredito numérico: uma repetição em três janelas consecutivas, a mesma resposta com mais iterações e um multiplicador de valor absoluto inferior a 1. Uma repetição em vírgula flutuante não prova a existência de um ciclo atrator; quando o teste não consegue decidir, a linha indica-o.
• O sinal de λ não é um classificador universal: em $r = 4$, com $x_0 = 3/4$, a órbita nunca se move, mas λ ao longo dela também é $\ln 2$.
• Os inícios especiais têm os seus próprios destinos: em $r = 4$, $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ e permanece em 0. Todos esses inícios em conjunto têm medida de comprimento 0, pelo que as afirmações sobre inícios típicos continuam válidas.

História

«Logística» vem da equação diferencial de Verhulst de 1838 para o crescimento populacional. Em 1976, May usou esta aplicação discreta na Nature para mostrar que modelos simples podem ter comportamentos muito complicados [1]. Ulam e von Neumann já tinham identificado a densidade invariante em $r = 4$ em 1947 [2]. Em 1978, Feigenbaum encontrou as constantes universais da cascata de duplicação do período [3], e Singer deu o critério para a existência de, no máximo, um ciclo atrator [4].

Conceitos relacionados

Conjunto de Mandelbrot · Atrator de Lorenz · Série de Fourier (página planeada)

Referências

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Para saber mais: Wikipédia: Logistic map (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Robert May (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Mitchell Feigenbaum (Inglês).