Логистическое отображение: интерактивная бифуркационная диаграмма

Логистическое отображение в этой визуализации

Логистическое отображение — отображение $f(x) = r x (1 - x)$ интервала $[0, 1]$ в себя с параметром $0 \le r \le 4$ . Начав с $x_0$ и повторяя $x_{n+1} = f(x_n)$ , получаем последовательность; эта страница показывает, как её предельное поведение меняется с $r$ .

x_{n+1} = r\,x_n\,(1 - x_n),\qquad x_n \in [0, 1],\qquad 0 \le r \le 4

Что показывают изображения

Бифуркационная диаграмма, большое изображение: $r$ по горизонтали, $x$ по вертикали. Каждый столбец берёт $r$ в своём центре, начинает с $x_0 = 1/\pi$ , пропускает первые $T$ шагов и отмечает, куда попадают следующие $K$ ; чем ярче, тем чаще. $T$ и $K$ указаны справа вверху и растут при увеличении. Поэтому каждый столбец — выборка установившегося поведения одного старта, а не вся история орбиты. «Типичный» означает почти каждый старт (в смысле длины); $1/\pi$ служит их представителем без доказательства типичности для каждого $r$ .

Полоса λ под диаграммой на той же оси $r$ : численная оценка показателя Ляпунова $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (тот же типичный старт, пропускаются 1000 шагов, усредняются 4000). Это средняя экспоненциальная скорость роста бесконечно малой разности двух стартов: ниже 0 разность в среднем уменьшается, выше 0 — растёт. При сверхустойчивом параметре ( $\tfrac12$ лежит на притягивающем цикле) $\lambda = -\infty$ ; это показано стрелкой вниз с подписью периода при численно найденном параметре.

Паутинная диаграмма вверху панели: кривая $y = f(x)$ (или $f^2$ , $f^3$ , $f^4$ ) и диагональ $y = x$ . Вверх от $x_0$ до кривой, затем горизонтально до диагонали — один шаг. Заполненные точки — притягивающие неподвижные точки, полые — отталкивающие.

Временной ряд, открываемый одной кнопкой: $x_n$ в зависимости от $n$ , а справа — доля $10^5$ шагов этой орбиты в каждом из 40 интервалов; при $r = 4$ чернильная линия показывает теоретическую вероятность.

Почему изображение устроено так

В неподвижной точке $x^* = 1 - 1/r$ наклон равен $f'(x^*) = 2 - r$ . При $1 < r < 3$ выполняется $|f'(x^*)| < 1$ , и точка притягивает соседей. Когда $r$ проходит 3, $f'(x^*)$ проходит $-1$ : точка теряет притяжение, а рядом возникает цикл периода 2, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$ , с мультипликатором $4 + 2r - r^2$ . Пара находится в новых пересечениях $f^2$ с диагональю — переключите паутину на $f^2$ , чтобы увидеть их. При $r = 1 + \sqrt6$ мультипликатор цикла периода 2 достигает $-1$ , и он тоже раздваивается.

Удвоения происходят всё чаще и накапливаются у $r_\infty \approx 3.5699$ . Отношение соседних расстояний стремится к постоянной Фейгенбаума $\delta \approx 4.6692$ , причём не только для этого отображения: она одинакова для целого класса отображений с одним квадратичным максимумом (найдена Фейгенбаумом в 1978 году, позднее доказана Ланфордом с помощью компьютера).

Окно внутри хаоса: когда $r$ проходит $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$ , $f^3$ касается диагонали и рождается пара циклов периода 3, притягивающий и отталкивающий (седло-узловая бифуркация, мультипликатор $+1$ ). Внутри окна начинается собственный каскад удвоений периода.

При $r = 4$ выполняется $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$ : подстановка $x = \sin^2(\pi u)$ переводит отображение удвоения $u \mapsto 2u \bmod 1$ в $f$ (полусопряжённость: $u$ и $1 - u$ дают одно $x$ ). Отсюда точно получаются предельная плотность типичного старта $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$ и $\lambda = \ln 2$ .

Периодические окна встречаются по всей области, выглядящей хаотичной. Когда притягивающий цикл существует, типичные старты приближаются к нему; иначе показанный столбец — выборка установившегося поведения указанного начального значения, а не классификация всех возможных стартов.

Что легко понять неверно

Столбец диаграммы — не история одной орбиты, а выборка после удаления переходного процесса; там, где он медленный (вблизи бифуркации), столбец выглядит размытым.
Период в строке «предельное поведение» — численный вывод: повтор в трёх последовательных окнах, тот же ответ при большем числе итераций, модуль мультипликатора меньше 1. Повтор при вычислениях с плавающей точкой не доказывает наличие притягивающего цикла; если проверка не даёт решения, строка сообщает об этом.
Знак λ не даёт универсальной классификации: при $r = 4$ с $x_0 = 3/4$ орбита неподвижна, но λ вдоль неё тоже равно $\ln 2$ .
Особые старты имеют собственную судьбу: при $r = 4$ происходит $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ и орбита остаётся в 0. Все такие старты вместе имеют длину 0, поэтому утверждения о типичных стартах сохраняются.

История

Название «логистическое» происходит от дифференциального уравнения роста популяции Ферхюльста 1838 года. В 1976 году Мэй использовал это дискретное отображение в Nature, чтобы показать, насколько сложным бывает поведение простых моделей [1]. Улам и фон Нейман ещё в 1947 году отметили инвариантную плотность при $r = 4$ [2]. В 1978 году Фейгенбаум нашёл универсальные постоянные каскада удвоений периода [3], а Сингер дал критерий существования не более одного притягивающего цикла [4].

Связанные понятия

Источники

R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Дополнительные материалы: Википедия: Logistic map (Английский); Архив истории математики MacTutor: Robert May (Английский); Архив истории математики MacTutor: Mitchell Feigenbaum (Английский).