Pemetaan logistik

Pemetaan logistik dalam visualisasi ini

Pemetaan logistik adalah pemetaan $f(x) = r x (1 - x)$ dari interval $[0, 1]$ ke dirinya sendiri, dengan parameter $0 \le r \le 4$. Memulai dari $x_0$ dan menerapkan $x_{n+1} = f(x_n)$ berulang kali menghasilkan barisan; halaman ini membahas perubahan perilaku jangka panjangnya terhadap $r$.

Apa yang ditampilkan gambar

Diagram bifurkasi, gambar besar: $r$ mendatar, $x$ vertikal. Setiap kolom mengambil $r$ di pusatnya, memulai dari $x_0 = 1/\pi$, melewati $T$ langkah pertama, lalu mencatat posisi $K$ langkah berikutnya; makin terang berarti makin sering. $T$ dan $K$ dicetak di sudut kanan atas dan meningkat saat diperbesar. Jadi setiap kolom adalah sampel jangka panjang dari satu awal, bukan seluruh riwayat orbit. “Tipikal” berarti hampir setiap awal (dalam arti ukuran panjang); $1/\pi$ mewakilinya, tanpa bukti bahwa itu tipikal untuk setiap $r$.

Pita λ, di bawah diagram pada sumbu $r$ yang sama: estimasi numerik eksponen Lyapunov $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$ (awal tipikal sama, 1000 langkah dilewati, 4000 dirata-ratakan). Ini adalah laju eksponensial rata-rata pertumbuhan selisih infinitesimal antara dua awal: di bawah 0 selisih tersebut menyusut rata-rata, di atas 0 membesar. Pada parameter superstabil ($\tfrac12$ terletak pada siklus penarik), $\lambda = -\infty$; digambar sebagai panah ke bawah berlabel periode, pada parameter yang ditemukan secara numerik.

Plot sarang laba-laba, di bagian atas panel: kurva $y = f(x)$ (atau $f^2$, $f^3$, $f^4$) dan diagonal $y = x$. Naik dari $x_0$ ke kurva, mendatar ke diagonal: satu langkah. Titik penuh adalah titik tetap penarik, titik berongga penolak.

Deret waktu, tersedia dengan satu tombol: $x_n$ terhadap $n$, dan di kanannya proporsi $10^5$ langkah orbit ini dalam masing-masing dari 40 kelas; pada $r = 4$, garis tinta adalah peluang menurut teori.

Mengapa bentuknya demikian

Pada titik tetap $x^* = 1 - 1/r$, kemiringannya $f'(x^*) = 2 - r$. Untuk $1 < r < 3$, $|f'(x^*)| < 1$ dan titik itu menarik tetangganya. Saat $r$ melewati 3, $f'(x^*)$ melewati $-1$: daya tariknya hilang, dan di sampingnya muncul siklus periode 2, $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$, dengan pengali $4 + 2r - r^2$. Pasangan itu berada pada pertemuan baru $f^2$ dengan diagonal — ubah sarang laba-laba ke $f^2$ untuk melihatnya. Pada $r = 1 + \sqrt6$, pengali siklus periode 2 mencapai $-1$ dan siklus itu pun terbelah.

Penggandaan datang makin cepat dan menumpuk pada $r_\infty \approx 3.5699$. Rasio jarak berurutan menuju konstanta Feigenbaum $\delta \approx 4.6692$, dan bukan hanya untuk pemetaan ini: nilainya sama untuk seluruh kelas pemetaan berpuncak satu dengan maksimum kuadrat (ditemukan Feigenbaum pada 1978, kemudian dibuktikan Lanford dengan bantuan komputer).

Jendela di dalam kekacauan: saat $r$ melewati $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$, $f^3$ menyentuh diagonal dan lahir sepasang siklus periode 3, satu penarik dan satu penolak (bifurkasi pelana-simpul, pengali $+1$). Di dalam jendela muncul rangkaian penggandaan periodenya sendiri.

Pada $r = 4$, $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$: menetapkan $x = \sin^2(\pi u)$ membawa pemetaan penggandaan $u \mapsto 2u \bmod 1$ ke $f$ (semikonjugasi: $u$ dan $1 - u$ memberikan $x$ yang sama). Dari sini diperoleh secara eksak kepadatan jangka panjang awal tipikal, $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$, dan $\lambda = \ln 2$.

Jendela periodik muncul di seluruh daerah yang tampak kacau. Saat siklus penarik ada, awal tipikal mendekatinya; jika tidak, kolom yang diplot adalah sampel jangka panjang dari nilai awal yang disebutkan, bukan klasifikasi semua awal yang mungkin.

Mudah disalahartikan

• Kolom diagram bukan riwayat satu orbit, melainkan sampel jangka panjang setelah bagian sementara dibuang; saat peralihannya lambat (dekat bifurkasi), kolom tampak kabur.
• Periode pada baris “jangka panjang” adalah keputusan numerik: pengulangan pada tiga jendela berturut-turut, jawaban sama dengan lebih banyak iterasi, pengali dengan besar kurang dari 1. Pengulangan dalam titik mengambang bukan bukti siklus penarik; saat pengujian tidak dapat memutuskan, baris itu menyatakannya.
• Tanda λ bukan pengklasifikasi universal: pada $r = 4$ dengan $x_0 = 3/4$, orbit tidak pernah bergerak, tetapi λ sepanjang orbit itu juga $\ln 2$.
• Awal khusus memiliki nasib sendiri: pada $r = 4$, $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$ dan menetap di 0. Gabungan semua awal demikian memiliki ukuran panjang 0, jadi pernyataan tentang awal tipikal tetap berlaku.

Sejarah

“Logistik” berasal dari persamaan diferensial Verhulst tahun 1838 untuk pertumbuhan populasi. Pada 1976, May memakai pemetaan diskret ini dalam Nature untuk menunjukkan bahwa model sederhana dapat berperilaku sangat rumit [1]. Ulam dan von Neumann telah mencatat kepadatan invarian pada $r = 4$ pada 1947 [2]. Pada 1978, Feigenbaum menemukan konstanta universal rangkaian penggandaan periode [3], dan Singer memberikan kriteria untuk paling banyak satu siklus penarik [4].

Konsep terkait

Himpunan Mandelbrot · Atraktor Lorenz · Deret Fourier (halaman direncanakan)

Referensi

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Logistic map (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Robert May (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Mitchell Feigenbaum (Bahasa Inggris).