로지스틱 사상

이 시각화에서 살펴보는 로지스틱 사상

로지스틱 사상은 매개변수 $0 \le r \le 4$를 갖는 사상 $f(x) = r x (1 - x)$로, 구간 $[0, 1]$을 자기 자신으로 보냅니다. $x_0$에서 시작해 $x_{n+1} = f(x_n)$을 거듭 적용하면 수열이 됩니다. 이 페이지에서는 $r$에 따라 장기 거동이 어떻게 달라지는지 살펴봅니다.

각 그림이 보여 주는 것

큰 그림인 분기 다이어그램은 가로축이 $r$, 세로축이 $x$입니다. 각 열은 중심의 $r$를 택해 $x_0 = 1/\pi$에서 시작하고, 처음 $T$단계를 건너뛴 뒤 다음 $K$개의 도착점을 기록합니다. 밝을수록 더 자주 도착한 곳입니다. $T$과 $K$는 오른쪽 위에 표시되며 확대할수록 커집니다. 따라서 각 열은 한 시작점의 장기 표본이며, 궤도의 전체 이력이 아닙니다. ‘전형적’이란 길이의 의미에서 거의 모든 시작점을 뜻합니다. $1/\pi$을 대표로 사용하지만, 모든 $r$에서 전형적이라는 증명은 없습니다.

다이어그램 아래 같은 $r$축을 쓰는 λ 띠는 리아푸노프 지수 $\lambda(r) = \lim \frac1n \sum \ln|f'(x_i)|$의 수치 추정값입니다(같은 전형적 시작점에서 1000단계를 건너뛰고 4000단계의 평균을 구합니다). 두 시작점 사이의 무한소 차이가 커지는 평균 지수율입니다. 0보다 작으면 차이가 평균적으로 줄어들고, 0보다 크면 커집니다. 초안정 매개변수($\tfrac12$이 끌어당기는 주기 궤도 위에 놓일 때)에서는 $\lambda = -\infty$입니다. 수치적으로 찾은 해당 매개변수에 아래쪽 화살표와 주기를 표시합니다.

패널 위의 거미줄 도표는 곡선 $y = f(x)$(또는 $f^2$, $f^3$, $f^4$)와 대각선 $y = x$을 보여 줍니다. $x_0$에서 곡선까지 올라가고, 대각선까지 옆으로 이동하는 것이 한 걸음입니다. 속이 찬 점은 끌어당기는 고정점, 빈 점은 밀어내는 고정점입니다.

버튼을 누르면 열리는 시계열은 $n$에 따른 $x_n$를 보여 줍니다. 오른쪽에는 이 궤도의 $10^5$단계가 40개 구간 각각에 속하는 비율을 표시합니다. $r = 4$에서는 잉크색 선이 이론적 확률을 나타냅니다.

왜 이런 모양일까?

고정점 $x^* = 1 - 1/r$의 기울기는 $f'(x^*) = 2 - r$입니다. $1 < r < 3$이면 $|f'(x^*)| < 1$이므로 이웃한 점을 끌어당깁니다. $r$이 3을 지나면 $f'(x^*)$가 $-1$을 지납니다. 끌어당기는 성질을 잃고, 옆에 주기 2 궤도 $\frac{r + 1 \pm \sqrt{(r - 3)(r + 1)}}{2r}$가 승수 $4 + 2r - r^2$로 나타납니다. 이 두 점은 $f^2$가 대각선과 새로 만나는 곳입니다. 거미줄을 $f^2$로 바꾸면 볼 수 있습니다. $r = 1 + \sqrt6$에서는 주기 2 궤도의 승수가 $-1$에 도달해 다시 갈라집니다.

주기 배가는 점점 빨라지며 $r_\infty \approx 3.5699$에 모입니다. 연속된 간격의 비는 파이겐바움 상수 $\delta \approx 4.6692$로 가까워집니다. 이 사상만의 성질은 아닙니다. 이차식 모양의 최댓점을 가진 봉우리 하나짜리 사상들의 한 부류 전체에서 같은 상수가 나타납니다(파이겐바움이 1978년에 발견했고, 이후 랜퍼드가 컴퓨터의 도움으로 증명했습니다).

혼돈 속의 창: $r$이 $1 + \sqrt8 \approx 3.8284$을 지나면 $f^3$가 대각선에 접하며 주기 3 궤도 한 쌍이 생깁니다. 하나는 끌어당기고 하나는 밀어냅니다(안장–마디 분기, 승수 $+1$). 창 안에서도 자체적인 주기 배가 연쇄가 이어집니다.

$r = 4$에서 $f(\sin^2 \pi u) = \sin^2(2\pi u)$입니다. $x = \sin^2(\pi u)$로 놓으면 배가 사상 $u \mapsto 2u \bmod 1$이 $f$에 대응합니다(반공액: $u$와 $1 - u$이 같은 $x$을 줍니다). 여기서 전형적인 시작점의 장기 밀도 $\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}$과 $\lambda = \ln 2$를 정확하게 얻습니다.

혼돈처럼 보이는 영역 곳곳에 주기 창이 있습니다. 끌어당기는 주기 궤도가 있으면 전형적인 시작점은 그 궤도에 가까워집니다. 그렇지 않을 때 그려진 열은 명시된 초기값의 장기 표본이며, 가능한 모든 시작점을 분류한 결과는 아닙니다.

헷갈리기 쉬운 점

• 다이어그램의 한 열은 궤도 하나의 전체 이력이 아니라 초기 과도 상태를 버린 뒤의 장기 표본입니다. 분기점 근처처럼 과도 상태가 오래 지속되면 열이 흐릿해집니다.
• ‘장기 거동’에 나오는 주기는 수치 판정입니다. 연속된 세 구간에서 반복되고, 반복 횟수를 늘려도 같은 답이 나오며, 승수의 절댓값이 1보다 작은지 확인합니다. 부동소수점에서의 반복은 끌어당기는 주기 궤도의 증명이 아닙니다. 검사로 판정할 수 없으면 그렇게 표시합니다.
• λ의 부호가 모든 경우를 분류하지는 못합니다. $r = 4$에서 $x_0 = 3/4$이면 궤도는 움직이지 않지만, 그 궤도의 λ도 $\ln 2$입니다.
• 특별한 시작점은 각자의 운명을 가집니다. $r = 4$에서는 $x_0 = 1/2 \to 1 \to 0$이며 0에 머무릅니다. 이러한 시작점 전체의 길이는 0이므로 전형적인 시작점에 대한 설명은 여전히 성립합니다.

역사

‘로지스틱’은 페르휠스트가 1838년에 제시한 개체 수 성장 미분방정식에서 온 이름입니다. 메이는 1976년 Nature에서 이 이산 사상을 이용해 단순한 모형도 매우 복잡하게 거동할 수 있음을 보였습니다[1]. 울람과 폰 노이만은 이미 1947년에 $r = 4$에서의 불변 밀도를 언급했습니다[2]. 1978년 파이겐바움은 주기 배가 연쇄의 보편 상수를 발견했고[3], 싱어는 끌어당기는 주기 궤도가 많아야 하나일 조건을 제시했습니다[4].

관련 개념

망델브로 집합 · 로렌츠 끌개 · 푸리에 급수 (제작 예정 페이지)

참고 문헌

1. R. M. May, “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature 261 (1976) 459–467. doi:10.1038/261459a0
2. S. M. Ulam, J. von Neumann, “On combination of stochastic and deterministic processes” (abstract), Bulletin of the American Mathematical Society 53 (1947) 1120.
3. M. J. Feigenbaum, “Quantitative universality for a class of nonlinear transformations”, Journal of Statistical Physics 19 (1978) 25–52. doi:10.1007/BF01020332
4. D. Singer, “Stable orbits and bifurcation of maps of the interval”, SIAM Journal on Applied Mathematics 35 (1978) 260–267.
5. O. E. Lanford III, “A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures”, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.) 6 (1982) 427–434.
6. M. V. Jakobson, “Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps”, Communications in Mathematical Physics 81 (1981) 39–88.
7. J. Graczyk, G. Świątek, “Generic hyperbolicity in the logistic family”, Annals of Mathematics 146 (1997) 1–52.
8. M. Lyubich, “Dynamics of quadratic polynomials, I–II”, Acta Mathematica 178 (1997) 185–297.

더 읽어 보기: Wikipedia: Logistic map (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Robert May (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Mitchell Feigenbaum (영어).