Seltsamer Attraktor

Ein Attraktor ist eine Menge, der Bahnen mit Startpunkten in ihrer Nähe immer näher kommen und nahe bleiben. Er heißt seltsam, wenn er eine fraktale Struktur besitzt, die bei jeder Vergrößerung neue Details zeigt. Manche Autoren verwenden das Wort für jeden chaotischen Attraktor; hier bezeichnet es die fraktale Art. Diese Seite verwendet einen positiven Schätzwert des größten Lyapunov-Exponenten als numerischen Hinweis auf Chaos ($\lambda_1 > 0$).

Jede Abbildung auf dieser Seite ist eine Regel, die jeden Punkt der Ebene auf einen neuen Punkt schickt und immer wieder angewendet wird: Die Zeit ist diskret, und ein Punkt springt bei jedem Schritt. Das helle Bild zeigt eine Langzeitdichte, also wie oft lange Bahnen in jedem Pixel landen: eine statistische Schätzung dafür, wie der Attraktor besucht wird. Das Leuchten und die Farben dienen nur der Darstellung.

Hénon (1976) setzte seine Abbildung aus drei Bewegungen zusammen: Biegen $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, Stauchen $(x, y) \to (b x,\, y)$ und Spiegeln $(x, y) \to (y, x)$. Zusammen ergeben sie $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Biegen und Spiegeln erhalten den Flächeninhalt; Stauchen multipliziert ihn mit $|b|$. Bei $b = 0.3$ wird daher der Flächeninhalt jedes Gebiets bei jedem Schritt genau 0,3-mal so groß, und nach 12 Schritten bleibt davon $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ übrig, immer noch ein positiver Wert. Wird das Fanggebiet unendlich oft iteriert, ergibt sich eine Grenzmenge mit Flächeninhalt null. Nahe Bahnen entfernen sich im Mittel exponentiell voneinander, solange sie nahe beieinander bleiben ($\lambda_1 \approx 0.42$, numerisch). So wird aus einem Gebiet ein immer längeres und dünneres Band, das sich immer wieder auf sich selbst zurückfaltet: Schichten entstehen.

Loslassen zeigt die ersten 12 Schritte eines Gebiets aus Startpunkten. Punkte im Einzugsgebiet nähern sich dem Attraktor auf lange Sicht, im Allgemeinen ohne nach endlich vielen Schritten auf ihm zu landen. Das Ende der 12 Schritte ist also keine Ankunft. Entartete Parameter sind die Ausnahme: Bei $u = 0$ schickt die Ikeda-Abbildung jeden Punkt in einem Schritt auf ihren Fixpunkt $(1,\ 0)$. Hénons Viereck wird bei $a = 1.4,\ b = 0.3$ von keinem Punkt verlassen, weil sein Bild in seinem Inneren liegt. Bei anderen Parametern kann das Startgebiet über den angezogenen Bereich hinausreichen, und diese Punkte entweichen. Die Ikeda-Abbildung lässt sich in Verdrehen, Schrumpfen (Flächeninhalt $\times u^2$) und Verschieben zerlegen; die Clifford-Abbildung lässt sich nicht in einfache Bewegungen zerlegen.

Nach den 12 Schritten machen dieselben Punkte noch einige Hundert weitere Schritte. Ihre Treffer werden zur Helligkeit aufsummiert. Die Seite vergleicht ihre normierten Häufigkeiten mit der Langzeitdichte auf einem groben Raster innerhalb des aktuellen Ausschnitts und zeigt den gemessenen Unterschied an. Ein kleiner Unterschied ist eine numerische Beobachtung bei dieser Auflösung, kein Beweis dafür, dass die Punkte den Attraktor erreicht haben. Andere Startgebiete können sich einem anderen Attraktor nähern oder entweichen.

Nahe dem Sattelpunkt $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$ kontrahiert die linearisierte Abbildung eine Richtung pro Schritt um den Faktor $\mu_s \approx 0.156$. Eintauchen verwendet den Kehrwert, etwa $1/\mu_s \approx 6.41$, um aufeinanderfolgende Vergrößerungen um P zu wählen. So kannst du benachbarte Schichten bei miteinander verknüpften Maßstäben vergleichen. Der Multiplikator beschreibt die lokale stabile Richtung; er beweist nicht, dass sich das gesamte Bild bei gleichmäßiger Vergrößerung wiederholt. Die dargestellten Schichten sind endliche numerische Stichproben.

Eine Dimension zwischen 1 und 2 misst die Schichtung. Die Kaplan–Yorke-Dimension $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ beträgt für den Hénon-Attraktor etwa 1,26. Das Zählen von Kästchen bei den am Computer erreichbaren Maßstäben ergibt etwa 1,2 bis 1,26. Das sind zwei verschiedene Schätzungen, beide numerisch.

Viele Poster mit dem Titel „Seltsamer Attraktor“ verwenden Abbildungen wie die von Clifford, die die Ebene entlang der Kurven falten, auf denen $\det J = 0$ gilt. Die hellen Fäden liegen auf den Bildern dieser Falten, den kritischen Kurven: Dort häuft sich die Dichte. Für die Parameter auf dieser Seite gilt $\lambda_1 > 0$, die Bahn ist also chaotisch. Doch es gilt $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$, und das Kästchenzählen liefert bei den berechneten Maßstäben einen Wert nahe 2. Diese Zahlen zeigen keine Schichtung, beweisen aber auch nicht, dass der Attraktor eine Fläche ausfüllt. Es gibt auch seltsame Attraktoren, die nicht chaotisch sind (Grebogi und andere, 1984).

Ein Computerbild kann einen seltsamen Attraktor nicht von einem Zyklus mit sehr langer Periode unterscheiden. Benedicks und Carleson (1991) bewiesen, dass die Hénon-Abbildung für viele Parameter nahe $a = 2$ mit kleinem $b$ seltsame Attraktoren besitzt; für die klassischen Werte $a = 1.4,\ b = 0.3$ gibt es keinen anerkannten Beweis. Misiurewicz (1980) bewies die Existenz seltsamer Attraktoren für die Lozi-Abbildung $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ in einem Parameterbereich, der $(1.75,\, 0.3)$ enthält, aber nicht Lozis eigene Werte $(1.7,\, 0.5)$. Tucker (2002) bewies, dass der Lorenz-Attraktor ein seltsamer Attraktor ist. Bei $b = 0$ bringt ein Schritt jeden Punkt auf die Gerade $y = 0$, auf der die Hénon-Abbildung $x \to 1 - a x^2$ lautet; für $a > 0$ ist das die logistische Abbildung in anderen Koordinaten ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Logistische Abbildung
• WA01Lorenz-Attraktor
• WB01Mandelbrot-Menge

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Attractor (Englisch); Wikipedia: Hénon map (Englisch).