Attracteur étrange

Un attracteur est un ensemble dont les orbites partant à proximité se rapprochent toujours davantage et restent proches ; on le dit étrange lorsqu’il possède une structure fractale, révélant de nouveaux détails à chaque grossissement. Certains auteurs emploient ce mot pour tout attracteur chaotique ; ici, il désigne les attracteurs à structure fractale. La page utilise une estimation positive du plus grand exposant de Lyapunov comme indice numérique de chaos ($\lambda_1 > 0$).

Chaque application de cette page est une règle qui envoie chaque point du plan sur un nouveau point, appliquée encore et encore : le temps est discret, et un point saute à chaque étape. L’image lumineuse représente une densité à long terme, la fréquence à laquelle de longues orbites passent dans chaque pixel : une estimation statistique de la manière dont l’attracteur est parcouru. La lueur et les couleurs ne servent qu’à l’affichage.

Hénon (1976) a construit son application à partir de trois mouvements : courbure $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, compression $(x, y) \to (b x,\, y)$ et retournement $(x, y) \to (y, x)$. Ensemble, ils donnent $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. La courbure et le retournement conservent l’aire ; la compression la multiplie par $|b|$. Ainsi, pour $b = 0.3$, l’aire de toute région est multipliée par exactement 0.3 à chaque étape, et après 12 étapes il en reste une fraction $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$, toujours positive. Itérer indéfiniment la région piégeante donne un ensemble limite d’aire nulle. Les orbites voisines s’écartent exponentiellement en moyenne tant qu’elles restent proches ($\lambda_1 \approx 0.42$, calcul numérique) : une région devient donc une bande plus longue et plus fine qui se replie sur elle-même, encore et encore, formant des couches.

Lâcher montre les 12 premières étapes d’une région de points initiaux. Les points du bassin de l’attracteur s’en approchent à long terme, généralement sans l’atteindre en un nombre fini d’étapes : la fin des 12 étapes n’est donc pas une arrivée. Les paramètres dégénérés font exception : pour $u = 0$, l’application d’Ikeda envoie chaque point sur son point fixe $(1,\ 0)$ en une seule étape. Aucun point ne sort du quadrilatère de Hénon pour $a = 1.4,\ b = 0.3$, car son image est contenue à l’intérieur ; avec d’autres paramètres, la région initiale peut dépasser la zone attirée, et ces points s’échappent. L’application d’Ikeda se décompose en torsion, réduction (aire $\times u^2$) et translation ; celle de Clifford ne se décompose pas en mouvements simples.

Après les 12 étapes, les mêmes points poursuivent leur chemin pendant quelques centaines d’étapes supplémentaires, et leurs passages s’accumulent pour produire la luminosité. La page compare leurs comptages normalisés à la densité à long terme sur une grille grossière à l’intérieur de la vue actuelle et indique l’écart mesuré. Un faible écart est une observation numérique à cette résolution, pas une preuve que les points ont atteint l’attracteur. D’autres régions initiales peuvent s’approcher d’un autre attracteur ou s’échapper.

Près du point selle $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$, l’application linéarisée contracte une direction d’un facteur $\mu_s \approx 0.156$ par étape. Plonger utilise l’inverse, soit environ $1/\mu_s \approx 6.41$, pour choisir les grossissements successifs autour de P. Vous pouvez ainsi comparer des couches voisines à des échelles liées entre elles. Le multiplicateur décrit la direction stable locale ; il ne prouve pas que l’image entière se répète sous un zoom uniforme. Les couches affichées sont des échantillons numériques finis.

Une dimension entre 1 et 2 mesure la structure en couches. La dimension de Kaplan–Yorke $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ vaut environ 1.26 pour l’attracteur de Hénon, et le comptage de boîtes aux échelles accessibles à un ordinateur donne environ 1.2 à 1.26. Ce sont deux estimations différentes, toutes deux numériques.

De nombreuses affiches intitulées « attracteur étrange » utilisent des applications comme celle de Clifford, qui replient le plan le long des courbes où $\det J = 0$. Les fils lumineux se trouvent sur les images de ces plis, les courbes critiques : la densité s’y accumule. Pour les paramètres de cette page, $\lambda_1 > 0$, donc l’orbite est chaotique, mais $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ et le comptage de boîtes donne une valeur proche de 2 aux échelles calculées ; ces nombres ne révèlent aucune structure en couches, sans pour autant prouver que l’attracteur remplit une région d’aire non nulle. Il existe aussi des attracteurs étranges qui ne sont pas chaotiques (Grebogi et ses collaborateurs, 1984).

Une image informatique ne permet pas de distinguer un attracteur étrange d’un cycle de très longue période. Benedicks et Carleson (1991) ont démontré que l’application de Hénon possède des attracteurs étranges pour de nombreux paramètres proches de $a = 2$ avec $b$ petit ; pour les valeurs classiques $a = 1.4,\ b = 0.3$, il n’existe pas de preuve reconnue. Misiurewicz (1980) a démontré l’existence d’attracteurs étranges pour l’application de Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ dans une plage de paramètres qui contient $(1.75,\, 0.3)$, mais pas les valeurs $(1.7,\, 0.5)$ utilisées par Lozi lui-même. Tucker (2002) a démontré que l’attracteur de Lorenz en est un. Avec $b = 0$, une seule étape place chaque point sur la droite $y = 0$, où l’application de Hénon s’écrit $x \to 1 - a x^2$ ; pour $a > 0$, c’est la règle de la suite logistique dans d’autres coordonnées ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Suite logistique
• WA01Attracteur de Lorenz
• WB01Ensemble de Mandelbrot

Pour aller plus loin: Wikipédia: Attractor (Anglais); Wikipédia: Hénon map (Anglais).