奇异吸引子

吸引子是这样一个集合：从它附近出发的轨道越来越靠近它，并且一直留在它附近；吸引子有分形结构、放大多少层都还有新细节时，叫奇异吸引子。也有作者把一切混沌吸引子都叫奇异吸引子；本页说的是有分形结构的那种，本页用最大李雅普诺夫指数的正估计值作为混沌的数值指示（$\lambda_1 > 0$）。

本页的每个映射都是一条规则：把平面上每个点送到一个新的点，然后反复做下去。时间是离散的，点每一步跳一次。明亮的画面是长期密度，即长轨道落在每个像素里的次数，是对吸引子被访问情况的统计估计；光晕和配色只是显示效果。

Hénon（1976）用三个动作搭出他的映射：弯$(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$、压$(x, y) \to (b x,\, y)$、翻$(x, y) \to (y, x)$，三者合起来就是$x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$。弯和翻不改变面积，压把面积乘以$|b|$。所以$b = 0.3$时，任何一块区域的面积每一步精确地变成0.3倍，12步后只剩$0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$，仍然大于零。把捕获区域无限次迭代，极限集合的面积才是零。在相邻轨道仍然很近的阶段，它们的间距长期平均按指数增长（$\lambda_1 \approx 0.42$，数值），于是一块区域变成越来越长、越来越薄的带子，一次又一次折回来：这就是层。

“放出”展示一片起点的前12步。吸引域内的点长期趋近吸引子，一般不会在有限步内恰好落上去，所以12步结束不等于已经到达；退化的参数是例外，例如Ikeda映射取$u = 0$时，第一步就把所有点送到不动点$(1,\ 0)$。$a = 1.4,\ b = 0.3$时，从Hénon的四边形出发的点一个也不会出去，因为它的像落在它自己里面；换了参数，这片点可能伸出被吸引的范围，那些点就会逃逸。Ikeda映射拆成拧、缩（面积$\times u^2$）、移；Clifford映射拆不成简单的动作。

12步之后，这批点再接着走几百步，落点累加成亮度。页面在当前视窗内划分粗格子，把它们的归一化落点分布和长期密度比较，报告实际测得的差异。差异小只是这个分辨率下的数值观察，不证明这些点已经到达吸引子；其他起始区域可能靠近另一个吸引子，也可能逃逸。

在鞍点$P \approx (0.6314,\, 0.1894)$附近，线性化映射沿一个方向每步把距离压成$\mu_s \approx 0.156$倍。“放大观赏”用它的倒数，约$1/\mu_s \approx 6.41$，选择以P为中心的逐级放大倍率，方便比较相关尺度上的层次。这个倍率描述局部稳定方向，不证明整幅图在均匀放大后会重复；画面里的层仍是有限的数值采样。

介于1和2之间的维数衡量这种层叠。Hénon吸引子的Kaplan–Yorke维数$1 + \lambda_1/|\lambda_2|$约为1.26，在计算机够得着的尺度上数格子（盒计数）约为1.2到1.26。这是两种不同的估计，都是数值结果。

很多题为“奇异吸引子”的海报，用的是Clifford这类映射：它们沿$\det J = 0$的曲线把平面对折。亮丝落在这些折痕的像，也就是临界曲线上：点的密度在那里堆积。本页的参数下$\lambda_1 > 0$，轨道是混沌的；但$\lambda_1 + \lambda_2 > 0$，在算到的尺度上盒计数接近2，这些数字看不出层叠，不过也不能证明吸引子铺满了一块面积。反过来，也有奇异但不混沌的吸引子（Grebogi等，1984）。

计算机画出的图分不出奇异吸引子和周期极长的轨道。Benedicks和Carleson（1991）证明了Hénon映射在$a = 2$附近、$b$很小的许多参数下有奇异吸引子；经典的$a = 1.4,\ b = 0.3$至今没有公认的证明。Misiurewicz（1980）证明了Lozi映射$x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$在一个参数范围内有奇异吸引子，这个范围包含$(1.75,\, 0.3)$，但不包含Lozi原文的$(1.7,\, 0.5)$。Tucker（2002）证明了洛伦兹吸引子是奇异吸引子。令$b = 0$，一步之后所有点都落在直线$y = 0$上，在那里Hénon映射就是$x \to 1 - a x^2$；$a > 0$时它是换了坐标的逻辑斯蒂映射（$a = r(r - 2)/4$，$r > 2$）。

• WA03逻辑斯蒂映射
• WA01洛伦兹吸引子
• WB01曼德博集合

延伸阅读：维基百科：吸引子；维基百科：厄农映射。