Atrator estranho

Um atrator é um conjunto do qual as órbitas que começam perto se aproximam cada vez mais e permanecem próximas; chama-se estranho quando tem estrutura fractal, revelando novos detalhes a cada ampliação. Alguns autores usam a palavra para qualquer atrator caótico; aqui, designa o tipo fractal. A página usa uma estimativa positiva do maior expoente de Lyapunov como indicação numérica de caos ($\lambda_1 > 0$).

Cada aplicação nesta página é uma regra que envia cada ponto do plano para um novo ponto, aplicada repetidamente: o tempo é discreto e um ponto salta a cada passo. A imagem luminosa é uma densidade a longo prazo, a frequência com que órbitas longas passam por cada píxel: uma estimativa estatística de como o atrator é visitado. O brilho e as cores servem apenas para a visualização.

Hénon (1976) construiu a sua aplicação a partir de três movimentos: curvar $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, comprimir $(x, y) \to (b x,\, y)$ e refletir $(x, y) \to (y, x)$. Juntos, dão $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Curvar e refletir conservam a área; comprimir multiplica-a por $|b|$. Assim, com $b = 0.3$, a área de cada região fica com exatamente 0.3 vezes o seu valor a cada passo e, após 12 passos, resta $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$ dela, ainda positiva. Iterar indefinidamente a região de aprisionamento dá um conjunto limite de área nula. As órbitas próximas separam-se exponencialmente, em média, enquanto permanecem próximas ($\lambda_1 \approx 0.42$, resultado numérico), pelo que uma região se transforma numa faixa cada vez mais longa e fina que se dobra sobre si própria, repetidamente: camadas.

Soltar mostra os primeiros 12 passos de uma região de pontos iniciais. Os pontos na bacia do atrator aproximam-se dele a longo prazo, geralmente sem o atingir num número finito de passos, pelo que o fim dos 12 passos não é uma chegada; os parâmetros degenerados são a exceção: com $u = 0$, a aplicação de Ikeda envia todos os pontos para o seu ponto fixo $(1,\ 0)$ num só passo. Do quadrilátero de Hénon com $a = 1.4,\ b = 0.3$ não sai nenhum ponto, porque a sua imagem fica dentro dele; com outros parâmetros, a região pode estender-se para além da zona que é atraída, e esses pontos escapam. A aplicação de Ikeda decompõe-se em torcer, contrair (área $\times u^2$) e transladar; a de Clifford não se decompõe em movimentos simples.

Após os 12 passos, os mesmos pontos continuam por mais algumas centenas de passos, e as posições que visitam acumulam-se em brilho. A página compara as suas contagens normalizadas com a densidade a longo prazo numa grelha grosseira dentro da vista atual e apresenta a diferença medida. Uma diferença pequena é uma observação numérica a essa resolução, não uma demonstração de que os pontos chegaram ao atrator. Outras regiões iniciais podem aproximar-se de outro atrator ou escapar.

Perto do ponto de sela $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$, a aplicação linearizada contrai uma direção por um fator $\mu_s \approx 0.156$ a cada passo. Mergulhar usa o inverso, cerca de $1/\mu_s \approx 6.41$, para escolher ampliações sucessivas em torno de P. Isto permite comparar camadas próximas a escalas relacionadas. O multiplicador descreve a direção estável local; não demonstra que toda a imagem se repete sob uma ampliação uniforme. As camadas apresentadas são amostras numéricas finitas.

Uma dimensão entre 1 e 2 mede a estrutura em camadas. A dimensão de Kaplan–Yorke $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ é cerca de 1.26 para o atrator de Hénon, e a contagem de caixas às escalas que um computador alcança dá cerca de 1.2 a 1.26. São duas estimativas diferentes, ambas numéricas.

Muitos pósteres com o título «atrator estranho» usam aplicações como a de Clifford, que dobram o plano ao longo das curvas onde $\det J = 0$. Os fios luminosos situam-se nas imagens dessas dobras, as curvas críticas: a densidade acumula-se aí. Para os parâmetros desta página, $\lambda_1 > 0$, pelo que a órbita é caótica, mas $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ e a contagem de caixas aproxima-se de 2 às escalas calculadas; estes números não mostram uma estrutura em camadas, embora não demonstrem que o atrator preenche uma área. Também existem atratores estranhos que não são caóticos (Grebogi e outros, 1984).

Uma imagem de computador não permite distinguir um atrator estranho de um ciclo de período muito longo. Benedicks e Carleson (1991) demonstraram que a aplicação de Hénon tem atratores estranhos para muitos parâmetros perto de $a = 2$, com $b$ pequeno; para os parâmetros clássicos $a = 1.4,\ b = 0.3$, não existe uma demonstração aceite. Misiurewicz (1980) demonstrou a existência de atratores estranhos para a aplicação de Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ numa região de parâmetros que contém $(1.75,\, 0.3)$, mas não os valores $(1.7,\, 0.5)$ do próprio Lozi. Tucker (2002) demonstrou que o atrator de Lorenz é um atrator estranho. Com $b = 0$, um passo coloca todos os pontos na reta $y = 0$, onde a aplicação de Hénon é $x \to 1 - a x^2$; para $a > 0$, esta é a aplicação logística noutras coordenadas ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Aplicação logística
• WA01Atrator de Lorenz
• WB01Conjunto de Mandelbrot

Para saber mais: Wikipédia: Attractor (Inglês); Wikipédia: Hénon map (Inglês).