Attrattore strano

Un attrattore è un insieme a cui le orbite che partono nelle vicinanze si avvicinano sempre di più, restando vicine; si chiama strano quando ha una struttura frattale, che rivela nuovi dettagli a ogni ingrandimento. Alcuni autori usano il termine per qualsiasi attrattore caotico; qui indica quelli di tipo frattale. La pagina usa una stima positiva del massimo esponente di Lyapunov come indicazione numerica di caos ($\lambda_1 > 0$).

Ogni mappa di questa pagina è una regola che manda ciascun punto del piano in un nuovo punto, applicata ripetutamente: il tempo è discreto e un punto salta a ogni passo. L’immagine luminosa rappresenta una densità a lungo termine, cioè quanto spesso lunghe orbite cadono in ciascun pixel: una stima statistica di come viene visitato l’attrattore. Il bagliore e i colori sono soltanto effetti di visualizzazione.

Hénon (1976) costruì la sua mappa a partire da tre movimenti: curvatura $(x, y) \to (x,\, y + 1 - a x^2)$, compressione $(x, y) \to (b x,\, y)$ e ribaltamento $(x, y) \to (y, x)$. Insieme danno $x' = 1 - a x^2 + y,\ y' = b x$. Curvatura e ribaltamento conservano l’area; la compressione la moltiplica per $|b|$. Quindi, per $b = 0.3$, l’area di ogni regione diventa esattamente 0.3 volte quella precedente a ogni passo e, dopo 12 passi, ne resta $0.3^{12} \approx 5.3 \times 10^{-7}$, ancora positiva. Iterando indefinitamente la regione di intrappolamento si ottiene un insieme limite di area nulla. Le orbite vicine si separano in media esponenzialmente finché restano vicine ($\lambda_1 \approx 0.42$, risultato numerico), perciò una regione si trasforma in una fascia sempre più lunga e sottile che si ripiega su se stessa, ancora e ancora: strati.

Rilascia mostra i primi 12 passi di una regione di punti iniziali. I punti nel bacino dell’attrattore vi si avvicinano a lungo termine, in genere senza raggiungerlo in un numero finito di passi, quindi la fine dei 12 passi non è un arrivo; fanno eccezione i parametri degeneri: per $u = 0$ la mappa di Ikeda manda ogni punto nel suo punto fisso $(1,\ 0)$ in un solo passo. Dal quadrilatero di Hénon, per $a = 1.4,\ b = 0.3$, nessun punto esce, perché la sua immagine è contenuta al suo interno; con altri parametri la regione iniziale può estendersi oltre la zona attratta, e quei punti fuggono. La mappa di Ikeda si scompone in torsione, contrazione (area $\times u^2$) e traslazione; quella di Clifford non si scompone in movimenti semplici.

Dopo i 12 passi, gli stessi punti proseguono per altre centinaia di passi e le loro posizioni di arrivo si sommano producendo luminosità. La pagina confronta i loro conteggi normalizzati con la densità a lungo termine su una griglia grossolana all’interno della vista attuale e riporta la differenza misurata. Una differenza piccola è un’osservazione numerica a quella risoluzione, non una dimostrazione che i punti abbiano raggiunto l’attrattore. Altre regioni iniziali possono avvicinarsi a un altro attrattore oppure fuggire.

Vicino al punto di sella $P \approx (0.6314,\, 0.1894)$, la mappa linearizzata contrae una direzione di un fattore $\mu_s \approx 0.156$ a ogni passo. Immergiti usa il reciproco, circa $1/\mu_s \approx 6.41$, per scegliere ingrandimenti successivi attorno a P. Questo permette di confrontare strati vicini a scale correlate. Il moltiplicatore descrive la direzione stabile locale; non dimostra che l’intera immagine si ripeta con uno zoom uniforme. Gli strati visualizzati sono campioni numerici finiti.

Una dimensione tra 1 e 2 misura la stratificazione. La dimensione di Kaplan–Yorke $1 + \lambda_1/|\lambda_2|$ è circa 1.26 per l’attrattore di Hénon, mentre il conteggio dei riquadri alle scale raggiungibili da un computer dà valori tra circa 1.2 e 1.26. Sono due stime diverse, entrambe numeriche.

Molti poster intitolati “attrattore strano” usano mappe come quella di Clifford, che ripiegano il piano lungo le curve dove $\det J = 0$. I filamenti luminosi si trovano sulle immagini di quelle pieghe, le curve critiche: lì la densità si accumula. Per i parametri di questa pagina $\lambda_1 > 0$, quindi l’orbita è caotica, ma $\lambda_1 + \lambda_2 > 0$ e il conteggio dei riquadri si avvicina a 2 alle scale calcolate; questi numeri non mostrano stratificazione, pur non dimostrando che l’attrattore riempia un’area. Esistono anche attrattori strani non caotici (Grebogi e altri, 1984).

Un’immagine al computer non può distinguere un attrattore strano da un ciclo di periodo molto lungo. Benedicks e Carleson (1991) dimostrarono che la mappa di Hénon ha attrattori strani per molti parametri vicini a $a = 2$ con $b$ piccolo; per i valori classici $a = 1.4,\ b = 0.3$ non esiste una dimostrazione accettata. Misiurewicz (1980) dimostrò l’esistenza di attrattori strani per la mappa di Lozi $x' = 1 - a|x| + y,\ y' = bx$ in una regione dello spazio dei parametri che contiene $(1.75,\, 0.3)$ ma non i valori $(1.7,\, 0.5)$ usati dallo stesso Lozi. Tucker (2002) dimostrò che l’attrattore di Lorenz è un attrattore strano. Con $b = 0$, un solo passo porta ogni punto sulla retta $y = 0$, dove la mappa di Hénon è $x \to 1 - a x^2$; per $a > 0$ questa è la mappa logistica in altre coordinate ($a = r(r - 2)/4$, $r > 2$).

• WA03Mappa logistica
• WA01Attrattore di Lorenz
• WB01Insieme di Mandelbrot

Per approfondire: Wikipedia: Attractor (Inglese); Wikipedia: Hénon map (Inglese).