삼체 문제

각 천체는 다른 천체들 쪽으로 끌려가며, 그 힘은 거리의 제곱에 반비례합니다. 중력 상수와 각 질량을 1로 놓으면 $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$입니다. 두 천체의 문제는 공통 질량 중심을 도는 한 천체의 문제로 줄일 수 있고, 보존되는 에너지와 각운동량이 그 궤적을 원뿔 곡선으로 정합니다. 세 천체에서도 같은 양들이 보존되지만 일반적으로는 이것만으로 운동을 공식 하나로 줄일 수 없어, 이 페이지처럼 한 단계씩 계산합니다. 여기서는 두 수로 나타내는 초기 조건의 한 단면을 사용합니다. 천체 1과 2는 $x = \mp 1$에, 천체 3은 그 사이에 놓고 속도는 각각 $(p, q)$, $(p, q)$, $(-2p, -2q)$로 둡니다. 그러면 운동량과 각운동량은 0이고 에너지는 $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$입니다. 초기 조건 지도의 각 점은 하나의 초기 조건이며, 세 천체가 흩어지는 시각에 따라 색이 정해집니다.

근접 통과로 한 쌍이 더 단단히 묶이면서 방출하는 에너지를 세 번째 천체에 넘겨줄 수 있습니다. 충분한 에너지를 받으면 세 번째 천체는 떠납니다. 운동량이 0이므로 그 천체와 쌍은 반대 방향으로 날아가며, 쌍의 속력은 그 천체의 절반입니다. 이 페이지에서는 한 천체가 중력으로 묶인 쌍의 중심에서 5단위보다 멀고 동시에 쌍 사이 거리의 10배보다 멀며, 그 쌍에 대한 에너지가 양수인 채 멀어질 때 흩어졌다고 판정합니다. 이는 판정 기준이지 증명은 아닙니다. 지도에서 이렇게 흩어진 500개 사례를 추가로 300 단위의 시간 동안 추적했을 때는 모두 계속 멀어졌습니다. 지도에서 $E < 0$인 초기 조건 72,719개 중 60%가 계산한 400 단위의 시간 안에 흩어집니다. 원 $p^2 + q^2 = 5/6$ 바깥에서는 에너지가 음수가 아니며, 라그랑주–야코비 항등식에 따라 계속 함께 있을 수 없습니다. $I = \sum |\mathbf x_i|^2$에 대해 $\ddot I = 4E + 2|U|$이므로, 거리가 계속 유계라면 $|U|$의 값은 어떤 $c > 0$보다 큰 값을 유지하고 $I$는 한없이 커지기 때문입니다.

주기 궤도는 자신의 초기 상태로 돌아옵니다. Cris Moore가 1993년에 발견하고 Alain Chenciner와 Richard Montgomery가 2000년에 존재를 증명한 8자 궤도에서는 세 천체가 하나의 곡선을 따라 서로를 뒤쫓습니다. Milovan Šuvakov와 Veljko Dmitrašinović는 2013년에 이 단면에서 새로운 궤도족 13개를 발견했습니다. 그중 네 개가 지도에 표시되어 있으며 초기 조건은 높은 정밀도로 저장되어 있습니다. 작은 차이는 궤도마다 정해지는 배율로 매 주기 커집니다. 8자와 나방은 약 1배, 잠자리는 1.31배, 나비는 1.78배, 고글은 21배입니다. 고글은 살짝 밀지 않아도 계산 자체의 미세한 오차가 커져 약 7주기 뒤에 궤도가 무너집니다. ‘천체 1 살짝 밀기’ 버튼은 천체 1의 속도를 0.001 바꾸며 에너지와 각운동량을 조금 더합니다. 그래서 살짝 민 8자는 전체가 천천히 회전합니다. 기록에서는 그 회전을 제외하고 모양을 비교합니다.

뉴턴은 지구와 태양 양쪽에 끌리는 달의 문제가 자신의 머리를 아프게 하는 유일한 문제라고 말했습니다. Henri Poincaré가 1890년에 발표한 수상 논문은 이런 문제가 왜 어려운지 보여주었습니다. 일부 궤도 근처에서는 운동이 접히고 얽혀 먼 미래의 예측을 가로막습니다. 오늘날 혼돈이라 부르는 현상을 처음 엿본 것입니다. 여기의 천체는 평면 안에서 움직이는 질량이 같은 질점일 뿐입니다. 크기가 없고 충돌이나 합체는 모사하지 않으며, 류츠신 소설의 태양 세 개와 행성 하나를 나타내는 것도 아닙니다.