三體問題

每個天體都受到其他天體的吸引，力的大小與距離的平方成反比。將重力常數與各天體的質量設為1，就有$\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$。兩個天體的問題可化為一個天體繞共同質心運動；守恆的能量與角動量將軌道限定為圓錐曲線。三個天體也保有相同的守恆量，但通常已無法靠它們把運動化成一條公式，只能像本頁一樣逐步計算。這裡的初始條件取自兩個數決定的一個切面：1號與2號天體位於$x = \mp 1$，3號在兩者之間，速度依序為$(p, q)$、$(p, q)$與$(-2p, -2q)$。此時總動量與角動量皆為零，能量為$E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$。初始條件圖上的每一點代表一組初始條件，顏色表示三個天體何時散開。

一次近距離交會可能讓其中一對結合得更緊，並把釋出的能量交給第三個天體。得到足夠能量後，第三個天體便會離開。由於總動量為零，它與那一對會朝相反方向飛離，而那一對的速率是它的一半。本頁在一個天體距受引力束縛的一對的中心超過5個單位，且超過該對天體間距的10倍，同時相對於該對的能量為正並持續遠離時，判定三者已散開。這是判據，不是證明；從圖上取出500個這樣的散開案例，再追蹤300個時間單位，全部都繼續遠離。圖上符合$E < 0$的72,719組初始條件中，60%在計算的400個時間單位內散開。在圓$p^2 + q^2 = 5/6$之外，能量非負，拉格朗日–雅可比恆等式排除了始終聚在一起的可能：對$I = \sum |\mathbf x_i|^2$而言，$\ddot I = 4E + 2|U|$，因此若距離一直有界，$|U|$就會一直大於某個$c > 0$，使$I$無限增長。

週期軌道會回到自己的初始狀態。8字形軌道由Cris Moore於1993年發現，Alain Chenciner與Richard Montgomery於2000年證明其存在，三個天體沿同一條曲線互相追逐。Milovan Šuvakov與Veljko Dmitrašinović於2013年在這個切面中找到13個新軌道族；其中四個已標在圖上，初始條件以高精度儲存。微小偏差每一週期會按軌道決定的倍率放大：8字形與飛蛾約為1倍，蜻蜓為1.31倍，蝴蝶為1.78倍，護目鏡為21倍。護目鏡不必輕推，計算本身的微小誤差就會增長，約七個週期後便失去原來的軌道。「輕推1號」按鈕會把1號天體的速度改變0.001，增加一點能量與角動量，因此輕推後的8字形會整體緩慢旋轉；紀錄會先扣除這個旋轉，再比較形狀。

牛頓說，同時受地球與太陽牽引的月球運動，是唯一讓他頭痛的問題。Henri Poincaré於1890年發表的獲獎論文揭示了這類問題為何難解：某些軌道附近的運動會摺疊、糾纏，讓長期預測失效，這是人們最早窺見今日所稱混沌現象的時刻。這裡只有平面上質量相同的質點，沒有大小，也不模擬碰撞或合併；這並不是劉慈欣小說中的三個太陽與一顆行星。