Задача трёх тел

Каждое тело притягивается к двум другим с силой, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния; если гравитационную постоянную и массы принять равными 1, то $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. Движение двух тел сводится к движению одного вокруг общего центра, а сохраняющиеся энергия и момент импульса определяют его путь как коническое сечение. У трёх тел сохраняются те же величины, но в общем случае этого уже недостаточно, чтобы выразить движение формулой: его рассчитывают шаг за шагом, как на этой странице. Начальные условия взяты из среза, задаваемого двумя числами: тела 1 и 2 находятся в $x = \mp 1$, тело 3 — между ними, а их скорости равны $(p, q)$, $(p, q)$ и $(-2p, -2q)$. Импульс и момент импульса тогда равны нулю, а энергия задаётся формулой $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Каждая точка карты — одно начальное условие; её цвет показывает, когда тройка распадается.

Тесное сближение может сильнее связать два тела и передать высвободившуюся энергию третьему. Получив достаточно энергии, третье тело уходит; поскольку общий импульс равен нулю, оно и пара летят в противоположных направлениях, причём пара — с вдвое меньшей скоростью. На этой странице тройка считается распавшейся, когда одно тело находится дальше 5 единиц от центра связанной пары и дальше десяти расстояний между телами пары, удаляясь с положительной энергией относительно неё. Это критерий, а не доказательство: для 500 таких распадов с карты расчёт продолжили ещё на 300 единиц времени, и во всех случаях удаление продолжалось. Из 72719 начальных условий карты с $E < 0$ в 60% случаев распад происходит за рассчитанные 400 единиц времени. Вне окружности $p^2 + q^2 = 5/6$ энергия неотрицательна, и тождество Лагранжа — Якоби исключает возможность всегда оставаться вместе: при $I = \sum |\mathbf x_i|^2$ имеем $\ddot I = 4E + 2|U|$, поэтому, если бы расстояния оставались ограниченными, $|U|$ оставалось бы больше некоторого $c > 0$, а $I$ росло бы неограниченно.

Периодическая орбита возвращается в своё начальное состояние. Орбиту-восьмёрку в 1993 году нашёл Cris Moore, а её существование в 2000 году доказали Alain Chenciner и Richard Montgomery. На ней три тела следуют друг за другом по одной кривой. В 2013 году Milovan Šuvakov и Veljko Dmitrašinović нашли в этом срезе 13 новых семейств; четыре отмечены на карте, а их начальные условия сохранены с высокой точностью. Малое отклонение за каждый период увеличивается в число раз, определяемое орбитой: примерно в 1 раз для восьмёрки и мотылька, в 1.31 раза для стрекозы, в 1.78 раза для бабочки и в 21 раз для очков. Очкам толчок не нужен: малые погрешности самих вычислений растут, и примерно через семь периодов орбита теряется. Кнопка «Толкнуть тело 1» изменяет скорость тела 1 на 0.001, немного добавляя энергии и момента импульса, поэтому после толчка восьмёрка медленно поворачивается целиком; в журнале сравниваются формы после исключения этого поворота.

Ньютон говорил, что Луна, которую притягивают и Земля, и Солнце, была единственной задачей, от которой у него болела голова. Премированная работа Анри Пуанкаре, опубликованная в 1890 году, показала, почему такие задачи столь трудны: вблизи некоторых орбит движение образует переплетения, делающие долгосрочное предсказание невозможным. Так впервые проявилось то, что сегодня называют хаосом. Здесь тела — только одинаковые точечные массы на плоскости: у них нет размеров, столкновения и слияния не моделируются, и это не три солнца и одна планета из романа Лю Цысиня.