三体問題

それぞれの天体はほかの天体に引かれ、その力は距離の2乗に反比例します。万有引力定数と各質量を1とすると、$\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$です。二体問題は、共通の重心の周りを回る1つの天体の運動に帰着し、保存されるエネルギーと角運動量によって軌道が円錐曲線に定まります。三体問題でも同じ量は保存されますが、一般にはそれだけで運動を公式にまとめることはできず、このページのように少しずつ計算します。ここでは2つの数で指定できる初期条件の断面を使います。天体1と2を$x = \mp 1$に、天体3をその間に置き、速度をそれぞれ$(p, q)$、$(p, q)$、$(-2p, -2q)$とします。このとき運動量と角運動量は0、エネルギーは$E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$です。初期条件マップの各点が1通りの初期条件を表し、3つが離れ離れになる時刻で色分けされています。

接近通過によってペアの結びつきが強まり、そこで放出されたエネルギーが3つ目の天体に渡ることがあります。十分なエネルギーを得ると、その天体は離れていきます。運動量が0なので、その天体とペアは逆向きに飛び去り、ペアの速さはその天体の半分です。このページでは、1つの天体が重力で結びついたペアの中心から5単位より遠く、かつペアの間隔の10倍より遠くにあり、ペアに対するエネルギーが正で遠ざかっているとき、離れ離れになったと判定します。これは判定基準であって証明ではありません。マップ上でそう判定された500例をさらに300単位の時間にわたって追跡すると、すべて遠ざかり続けました。マップ上の$E < 0$を満たす72,719通りの初期条件のうち、60%が計算した400単位の時間以内に離れ離れになります。円$p^2 + q^2 = 5/6$の外ではエネルギーが負ではなく、ラグランジュ–ヤコビの恒等式により、一緒に居続けることはできません。$I = \sum |\mathbf x_i|^2$とすると$\ddot I = 4E + 2|U|$なので、距離が有界のままなら$|U|$はある$c > 0$より大きいままになり、$I$が限りなく増大してしまうからです。

周期軌道は自分の初期状態に戻ります。1993年にCris Mooreが発見し、2000年にAlain ChencinerとRichard Montgomeryが存在を証明した8の字軌道では、3つの天体が同じ曲線上を追いかけ合います。2013年、Milovan ŠuvakovとVeljko Dmitrašinovićはこの断面で13の新しい軌道族を見つけました。そのうち4つがマップに示され、初期条件は高精度で保存されています。小さなずれは、軌道ごとに決まる倍率で毎周期増幅されます。8の字と蛾では約1倍、トンボでは1.31倍、蝶では1.78倍、ゴーグルでは21倍です。ゴーグルは軽く押さなくても、計算自体の微小な誤差が育ち、約7周期後には軌道が崩れます。「天体1を軽く押す」ボタンは天体1の速度を0.001変え、エネルギーと角運動量を少し加えます。そのため、押した後の8の字は全体がゆっくり回転します。記録ではその回転を除いて形を比較しています。

ニュートンは、地球と太陽の両方から引かれる月の問題だけが、頭を悩ませる問題だと語りました。1890年に出版されたHenri Poincaréの受賞論文は、こうした問題が難しい理由を示しました。ある軌道の近くでは運動が折り重なって絡み合い、遠い先を予測できなくなるのです。これは、現在カオスと呼ばれる現象の最初の一端でした。ここにあるのは平面内の質量が等しい質点だけです。大きさはなく、衝突や合体はシミュレーションしていません。劉慈欣の小説に出てくる3つの太陽と1つの惑星のモデルでもありません。