Problema dos três corpos

Cada corpo é atraído para cada um dos outros por uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância; tomando a constante gravitacional e as massas iguais a 1, $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. O caso de dois corpos reduz-se ao de um que orbita em torno do seu centro comum, e a conservação da energia e do momento angular restringe a trajetória a uma secção cónica. Três corpos conservam as mesmas grandezas, mas, em geral, estas já não permitem reduzir o movimento a uma fórmula; calcula-se passo a passo, como nesta página. Aqui, os inícios pertencem a uma secção definida por dois números: os corpos 1 e 2 em $x = \mp 1$, o corpo 3 entre eles, com velocidades $(p, q)$, $(p, q)$ e $(-2p, -2q)$. O momento linear e o momento angular são então nulos e a energia é $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Cada ponto do mapa de condições iniciais é um início, colorido pelo instante em que os três se separam.

Uma passagem próxima pode tornar um par mais ligado e transferir a energia libertada para o terceiro corpo. Se receber energia suficiente, o terceiro afasta-se e, como o momento linear é nulo, ele e o par seguem em sentidos opostos, o par a metade da sua velocidade. A página considera que houve separação quando um corpo está a mais de 5 unidades do centro de um par ligado e a mais de 10 vezes a separação entre os corpos desse par, afastando-se com energia positiva em relação a ele. É um critério, não uma demonstração: acompanharam-se 500 separações deste tipo retiradas do mapa durante mais 300 unidades de tempo, e o afastamento continuou em todos os casos. Dos 72 719 inícios do mapa com $E < 0$, 60 % separam-se nas 400 unidades de tempo calculadas. Fora do círculo $p^2 + q^2 = 5/6$, a energia não é negativa e a identidade de Lagrange–Jacobi impede que permaneçam juntos: para $I = \sum |\mathbf x_i|^2$, tem-se $\ddot I = 4E + 2|U|$, pelo que, se as distâncias se mantivessem limitadas, $|U|$ permaneceria acima de algum $c > 0$ e $I$ cresceria sem limite.

Uma órbita periódica regressa ao seu próprio início. No oito, encontrado por Cris Moore em 1993 e cuja existência foi demonstrada por Alain Chenciner e Richard Montgomery em 2000, os três perseguem-se ao longo da mesma curva. Milovan Šuvakov e Veljko Dmitrašinović encontraram 13 novas famílias nesta secção em 2013; quatro estão assinaladas no mapa e as suas condições iniciais estão guardadas com elevada precisão. Um pequeno desvio cresce em cada período por um fator próprio da órbita: cerca de 1 para o oito e a traça, 1,31 para a libélula, 1,78 para a borboleta e 21 para os óculos de proteção. Os óculos de proteção não precisam de impulso: os minúsculos erros do próprio cálculo crescem até que, após cerca de sete períodos, a órbita se perde. O botão «Dar um impulso ao corpo 1» altera a sua velocidade em 0,001, acrescentando um pouco de energia e de momento angular; por isso, um oito que recebe esse impulso roda lentamente como um todo. O registo compara as formas depois de descontar essa rotação.

Newton dizia que a Lua, atraída tanto pela Terra como pelo Sol, era o único problema que lhe dava dores de cabeça. O ensaio premiado de Henri Poincaré, publicado em 1890, mostrou por que razão estes problemas resistem: perto de algumas órbitas, o movimento dobra-se em emaranhados que impedem a previsão a longo prazo, um primeiro vislumbre daquilo a que hoje chamamos caos. Os corpos aqui são apenas massas pontuais iguais num plano: não têm tamanho, não se simulam colisões nem fusões, e não são os três sóis e o único planeta do romance de Liu Cixin.