Pêndulo duplo

O pêndulo duplo aqui é formado por duas massas pontuais iguais em duas hastes de igual comprimento e sem massa, sem atrito. Ambos os ângulos são medidos a partir da vertical para baixo. Em unidades nas quais $m = l = g = 1$, o tempo mede-se em $\sqrt{l/g}$, e a energia devida à altura, contada a partir do pêndulo suspenso em repouso, é

Aqui podes largar o pêndulo de qualquer posição em repouso, soltar mil pêndulos quase idênticos ao mesmo tempo e ver que inícios permitem que um braço passe pelo topo e quais o fazem realmente.

Por predefinição, são largados em conjunto 1 000 pêndulos, com os ângulos dos braços inferiores distribuídos por um milionésimo de radiano. As linhas mais grossas são as tuas, e o rasto segue a tua massa inferior. O pequeno gráfico mostra a energia, cujo total se mantém enquanto passa entre altura e movimento, e os dois ângulos ao longo do tempo, com um ponto vermelho de cada vez que um braço passa pelo topo.

As equações do movimento são exatas e não têm nada de aleatório: o mesmo início dá sempre o mesmo movimento. No entanto, a partir do início predefinido, (120°, 60°), em $t \approx 33.5$ a massa inferior mais afastada já está a mais de 0,1 comprimentos de braço da tua, e o feixe depressa se dispersa em movimentos claramente diferentes. Mais precisão ajuda pouco. Para este início, uma diferença minúscula multiplica-se aproximadamente por $e$ a cada três unidades de tempo, enquanto se mantém pequena. Assim, distribuir os braços inferiores por apenas $10^{-9}$ radianos só adia a separação até cerca de 56. A partir de uma pequena oscilação, (30°, 30°), o mesmo feixe quase não se separa até $t = 300$.

As pequenas oscilações são ordenadas. Para ângulos pequenos, as equações tornam-se lineares e têm dois modos normais, nos quais os dois braços mantêm o mesmo ritmo:

No modo lento, os braços oscilam no mesmo sentido; no rápido, em sentidos opostos. Qualquer pequena oscilação é uma mistura dos dois.

A energia impõe um limite. Sem atrito, a energia total $E'$ mantém-se constante e a energia do movimento nunca é negativa, pelo que o pêndulo só pode assumir posições com $V' \le E'$. Para o braço inferior apontar verticalmente para cima, $V'$ tem de ser pelo menos 2; para o superior, pelo menos 4. São as duas marcas na barra de energia do pequeno gráfico. Um pêndulo largado do repouso tem a energia da sua posição inicial, pelo que

Isto é uma demonstração, não uma simulação. Entre 2 e 4, só o braço inferior pode passar pelo topo; acima de 4, ambos podem. Mas ter energia suficiente apenas o permite: não significa que um braço o vá fazer. A linha azul tracejada no mapa de inícios assinala as posições com exatamente a mesma energia de altura que a tua.

O Mapa de inícios mostra de uma só vez todos os inícios em repouso: o ângulo do braço superior na horizontal, o do inferior na vertical e a posição suspensa para baixo ao centro. As células coloridas indicam quando um dos braços passa pelo topo pela primeira vez. As células sem cor fora das hachuras ainda não o fizeram até ao instante mostrado, que vai até $t = 60$. A região hachurada é aquela onde a energia o impede. Longe das hachuras, as cores formam faixas largas. Perto delas, fragmentam-se num grão fino, onde inícios vizinhos passam pelo topo em instantes muito diferentes. O grão resulta da sensibilidade ao início, pelo que o tempo indicado para uma passagem tardia é apenas aproximado.

O mapa mostra apenas a primeira passagem pelo topo; não é um mapa de onde o movimento é caótico. O caos não exige que um braço passe pelo topo: nos testes desta página, muitos inícios com energia inferior a 2 já se comportam de forma caótica.