Péndulo doble

El péndulo doble de aquí consta de dos masas puntuales iguales en dos varillas de igual longitud y sin masa, sin rozamiento. Ambos ángulos se miden desde la vertical hacia abajo. En unidades donde $m = l = g = 1$, el tiempo se mide en $\sqrt{l/g}$, y la energía debida a la altura, tomando como referencia el péndulo colgando en reposo, es

Aquí puedes soltar el péndulo desde cualquier posición en reposo, liberar a la vez mil péndulos casi idénticos y ver qué inicios permiten que un brazo pase por arriba y cuáles lo hacen de verdad.

Por defecto se sueltan juntos 1 000 péndulos, con los ángulos de sus brazos inferiores repartidos en una millonésima de radián. Las líneas más gruesas son las tuyas, y el rastro sigue tu masa inferior. El pequeño gráfico muestra la energía, cuyo total se conserva mientras pasa entre altura y movimiento, y los dos ángulos a lo largo del tiempo, con un punto rojo cada vez que un brazo pasa por arriba.

Las ecuaciones del movimiento son exactas y no tienen nada aleatorio: el mismo inicio siempre produce el mismo movimiento. Sin embargo, desde el inicio predeterminado, (120°, 60°), la masa inferior más alejada está a más de 0,1 longitudes de brazo de la tuya cuando $t \approx 33.5$, y el haz pronto se dispersa en movimientos claramente distintos. Una mayor precisión ayuda poco. Para este inicio, una diferencia diminuta se multiplica aproximadamente por $e$ cada tres unidades de tiempo mientras sigue siendo pequeña. Así, repartir los brazos inferiores en solo $10^{-9}$ radián únicamente retrasa la separación hasta aproximadamente 56. Desde una oscilación pequeña, (30°, 30°), el mismo haz apenas se separa hasta $t = 300$.

Las oscilaciones pequeñas son ordenadas. Para ángulos pequeños, las ecuaciones se vuelven lineales y tienen dos modos normales, en los que ambos brazos mantienen un mismo ritmo:

En el modo lento, los brazos oscilan en el mismo sentido; en el rápido, en sentidos opuestos. Cualquier oscilación pequeña es una mezcla de los dos.

La energía pone un límite. Sin rozamiento, la energía total $E'$ se mantiene constante y la energía del movimiento nunca es negativa, así que el péndulo solo puede adoptar posiciones con $V' \le E'$. Para que el brazo inferior apunte verticalmente hacia arriba, $V'$ debe ser al menos 2; para el superior, al menos 4. Son las dos marcas de la barra de energía del pequeño gráfico. Un péndulo soltado desde el reposo tiene la energía de su posición inicial, de modo que

Esto es una demostración, no una simulación. Entre 2 y 4, solo el brazo inferior puede pasar por arriba; por encima de 4, ambos pueden hacerlo. Pero tener suficiente energía solo lo permite, no significa que un brazo vaya a hacerlo. La línea azul discontinua del mapa de inicios marca las posiciones con exactamente la misma energía de altura que la tuya.

El Mapa de inicios muestra a la vez todos los inicios desde el reposo: el ángulo del brazo superior en horizontal y el del inferior en vertical, con la posición colgante en el centro. Las celdas coloreadas muestran cuándo pasa por arriba cualquiera de los brazos por primera vez. Las celdas sin color fuera del rayado aún no lo han hecho en el tiempo mostrado, que llega hasta $t = 60$. La zona rayada es donde la energía lo impide. Lejos del rayado, los colores forman bandas anchas. Cerca, se fragmentan en un grano fino, donde inicios vecinos pasan por arriba en momentos muy distintos. Ese grano se debe a la sensibilidad al inicio, así que el tiempo mostrado para un paso tardío es solo aproximado.

El mapa solo muestra el primer paso por arriba; no es un mapa de dónde el movimiento es caótico. El caos no exige que un brazo pase por arriba: en las pruebas de esta página, muchos inicios con energía inferior a 2 ya se comportan de forma caótica.