Fractal del péndulo doble

El fractal del péndulo doble es un mapa de inicios. Cada punto representa un péndulo doble soltado desde el reposo; sus coordenadas son los ángulos del brazo superior $\theta_1$ y del inferior $\theta_2$ respecto a la vertical hacia abajo. Su color indica cuándo un brazo pasa por encima del punto más alto por primera vez. Los puntos claros giran pronto; los oscuros giran tarde o siguen sin hacerlo en $t = 60$. Es una imagen de tiempos de primer paso, del mismo tipo que la coloración del conjunto de Mandelbrot por tiempo de escape. Aquí puedes ver cómo se revela el mapa, comparar dos inicios vecinos y ampliarlo.

El modelo: dos masas puntuales iguales en dos varillas de igual longitud y sin masa, sin rozamiento, con $m = l = g = 1$, de modo que el tiempo se mide en unidades de $\sqrt{l/g}$.

La lente central nunca se ilumina, por mucho que se espere. Al soltar desde el reposo, toda la energía es potencial, medida respecto a la posición colgante inmóvil,

y se conserva durante el movimiento. Cuando el brazo inferior apunta hacia arriba, la energía potencial es al menos 2; si lo hace el superior, al menos 4. Por tanto, donde $E \le 2$, es decir, $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, ningún brazo puede pasar por arriba. Las curvas tenues dentro de la lente unen inicios de igual energía, desde $E = 0.25$ cerca del centro hasta el borde en $E = 2$: muestran cuánto falta para llegar arriba. Pero tener energía suficiente no es una garantía: muchos inicios justo fuera de la lente aún no han girado en $t = 60$.

Las bandas anchas y lisas están junto a filamentos finos por lo que ocurre antes del giro. En una banda, el brazo inferior pasa por arriba en su primer o segundo gran impulso; hasta entonces el movimiento es breve y regular, y los inicios cercanos siguen cerca hasta girar juntos. El borde entre dos de estas bandas reúne inicios que apenas alcanzan el punto más alto: a un lado el brazo pasa, al otro cae de nuevo y pasa un impulso después. En un filamento, el péndulo ya lleva mucho tiempo oscilando de forma irregular antes de girar. Las pequeñas diferencias crecen deprisa, y una diferencia mínima al inicio decide qué impulso llevará finalmente un brazo por arriba.

Al ampliar un filamento no aparece simplemente el mismo patrón: se divide en bandas más finas, numerosas y casi paralelas, capa tras capa. El borde entre dos bandas tempranas sigue siendo una línea nítida. La página se detiene en diez mil aumentos. Más allá, una proporción creciente de las celdas que giran tarde cambia con el método de cálculo, y la imagen dejaría de mostrar solo el péndulo.