Фрактал двойного маятника

Фрактал двойного маятника — карта начальных положений. Каждая точка представляет маятник, отпущенный без начальной скорости; координаты — углы верхнего звена $\theta_1$ и нижнего $\theta_2$ с вертикалью, направленной вниз. Цвет показывает время первого перехода одного из звеньев через верхнюю точку. Светлые точки переворачиваются рано, тёмные — поздно или не переворачиваются к $t = 60$. Это изображение времени первого достижения, подобное окраске множества Мандельброта по времени выхода. Здесь можно наблюдать проявление карты, сравнивать два соседних начальных положения и увеличивать изображение.

Модель: две одинаковые точечные массы на двух невесомых стержнях одинаковой длины, без трения, с $m = l = g = 1$; единица времени тогда равна $\sqrt{l/g}$.

Линза в центре никогда не загорается, сколько ни жди. При отпускании из состояния покоя вся энергия потенциальная, отсчитанная от неподвижного положения с обоими звеньями вниз,

и она сохраняется во время движения. Когда нижнее звено направлено строго вверх, потенциальная энергия не меньше 2; для верхнего звена — не меньше 4. Поэтому всюду, где $E \le 2$, то есть $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, ни одно звено не может пройти через верхнюю точку. Бледные кривые внутри линзы соединяют начальные положения с одинаковой энергией, от $E = 0.25$ вблизи центра до границы при $E = 2$: они показывают, сколько не хватает для достижения верха. Но достаточная энергия ещё ничего не гарантирует: многие положения сразу за линзой не дают переворота к $t = 60$.

Гладкие широкие полосы соседствуют с тонкими нитями из-за движения до переворота. В полосе нижнее звено проходит верхнюю точку при первом или втором большом взмахе; предшествующее движение короткое и регулярное, и близкие начальные положения остаются близкими до совместного переворота. Граница между двумя такими полосами состоит из положений, которые едва достигают верха: с одной стороны звено проходит дальше, с другой падает обратно и переворачивается на взмах позже. В нити маятник уже долго двигался нерегулярно до переворота. Малые различия быстро растут, и крошечная разница в начале определяет, какой взмах наконец перенесёт звено через верх.

При увеличении нити не возникает просто тот же рисунок: она распадается на всё более тонкие и многочисленные почти параллельные полосы, слой за слоем. Граница между двумя полосами ранних переворотов остаётся чёткой линией. Страница останавливается на увеличении в десять тысяч раз. Дальше всё большая доля ячеек с поздними переворотами меняется при смене метода расчёта, и изображение показывало бы уже не только маятник.