Frattale del doppio pendolo

Il frattale del doppio pendolo è una mappa di partenze. Ogni punto è un doppio pendolo lasciato da fermo; le coordinate sono gli angoli del braccio superiore $\theta_1$ e di quello inferiore $\theta_2$ rispetto alla verticale verso il basso. Il colore indica quando un braccio supera per la prima volta la sommità. I punti chiari si ribaltano presto, quelli scuri tardi o non entro $t = 60$. È un’immagine del tempo di primo passaggio, dello stesso tipo della colorazione dell’insieme di Mandelbrot per tempo di fuga. Qui puoi vedere svilupparsi la mappa, confrontare due partenze vicine e ingrandirla.

Il modello: due masse puntiformi uguali su due aste di uguale lunghezza e prive di massa, senza attrito, con $m = l = g = 1$; il tempo si misura quindi in unità di $\sqrt{l/g}$.

La lente al centro non si illumina mai, neppure aspettando di più. Alla partenza da fermo l’energia è tutta potenziale, misurata rispetto al pendolo immobile appeso verso il basso,

e si conserva durante il moto. Con il braccio inferiore rivolto verso l’alto, l’energia potenziale è almeno 2; con quello superiore, almeno 4. Dunque, ovunque $E \le 2$, cioè $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, nessun braccio può oltrepassare la sommità. Le curve tenui dentro la lente uniscono partenze di uguale energia, da $E = 0.25$ vicino al centro fino al bordo a $E = 2$: mostrano quanto manca per arrivare in alto. Avere energia sufficiente non è però una garanzia: molte partenze appena fuori dalla lente non si sono ribaltate entro $t = 60$.

Bande larghe e lisce confinano con filamenti sottili per ciò che accade prima del ribaltamento. In una banda il braccio inferiore supera la sommità alla prima o alla seconda grande oscillazione; il moto precedente è breve e regolare, e partenze vicine restano vicine fino a ribaltarsi insieme. Il bordo fra due di queste bande è formato da partenze che arrivano appena alla sommità: da un lato il braccio passa, dall’altro ricade e passa un’oscillazione dopo. In un filamento, il pendolo ha già oscillato irregolarmente a lungo prima di ribaltarsi. Le piccole differenze crescono in fretta e una differenza minima nella partenza decide quale oscillazione porterà finalmente un braccio oltre la sommità.

Ingrandendo un filamento non si ritrova semplicemente lo stesso motivo: si divide in bande più sottili, più numerose e quasi parallele, strato dopo strato. Il bordo fra due bande precoci resta una linea netta. La pagina si ferma a un ingrandimento di diecimila volte. Oltre, una parte crescente delle celle che si ribaltano tardi cambia con il metodo di calcolo, e l’immagine non mostrerebbe più soltanto il pendolo.