Pendolo doppio

Il pendolo doppio qui è formato da due masse puntiformi uguali su due aste di uguale lunghezza e prive di massa, senza attrito. Entrambi gli angoli si misurano dalla verticale verso il basso. In unità in cui $m = l = g = 1$, il tempo si misura in $\sqrt{l/g}$ e l’energia dovuta all’altezza, riferita al pendolo fermo e appeso verso il basso, è

Qui puoi lasciare andare il pendolo da qualunque posizione a riposo, liberare insieme mille pendoli quasi identici e vedere quali partenze permettono a un braccio di superare la posizione più alta e quali lo fanno davvero.

Per impostazione predefinita si lasciano andare insieme 1 000 pendoli, con gli angoli dei bracci inferiori distribuiti su un milionesimo di radiante. Le linee più spesse sono le tue, e la scia segue la tua massa inferiore. Il piccolo grafico mostra l’energia, il cui totale resta costante mentre passa tra altezza e movimento, e i due angoli nel tempo. Un punto rosso compare ogni volta che un braccio supera la posizione più alta.

Le equazioni del moto sono esatte e non contengono nulla di casuale: la stessa partenza dà sempre lo stesso moto. Eppure, dalla partenza predefinita, (120°, 60°), entro $t \approx 33.5$ la massa inferiore più lontana dista dalla tua più di 0,1 lunghezze di braccio, e presto il fascio si disperde in moti chiaramente diversi. Una maggiore precisione serve a poco. Per questa partenza, una differenza minuscola viene moltiplicata circa per $e$ ogni tre unità di tempo finché resta piccola. Distribuire invece i bracci inferiori su $10^{-9}$ radianti ritarda quindi la separazione solo fino a circa 56. Da una piccola oscillazione, (30°, 30°), lo stesso fascio si separa appena fino a $t = 300$.

Le piccole oscillazioni sono ordinate. Per angoli piccoli, le equazioni diventano lineari e hanno due modi normali, in cui entrambi i bracci mantengono uno stesso ritmo:

Nel modo lento i bracci oscillano nello stesso verso, in quello veloce in versi opposti. Ogni piccola oscillazione è una combinazione dei due.

L’energia pone un limite. Senza attrito, l’energia totale $E'$ resta costante e l’energia del moto non è mai negativa: il pendolo può quindi assumere solo posizioni con $V' \le E'$. Perché il braccio inferiore punti verticalmente verso l’alto, $V'$ deve essere almeno 2; per quello superiore, almeno 4. Sono le due tacche sulla barra dell’energia del piccolo grafico. Un pendolo lasciato andare da fermo ha l’energia della sua posizione iniziale, quindi

Questa è una dimostrazione, non una simulazione. Tra 2 e 4, solo il braccio inferiore può superare la posizione più alta; sopra 4, possono farlo entrambi. Ma un’energia sufficiente lo rende solo possibile: non significa che un braccio lo farà. La linea blu tratteggiata sulla mappa delle partenze indica le posizioni con la stessa energia di altezza della tua.

La Mappa delle partenze mostra tutte le partenze da fermo insieme: l’angolo del braccio superiore in orizzontale, quello inferiore in verticale e la posizione appesa verso il basso al centro. Le celle colorate mostrano quando uno dei bracci supera per la prima volta la posizione più alta. Le celle non colorate fuori dal tratteggio non l’hanno ancora superata al tempo indicato, che arriva fino a $t = 60$. La regione tratteggiata è quella in cui l’energia lo impedisce. Lontano dal tratteggio, i colori formano bande ampie; vicino, si frammentano in una grana fine, dove partenze vicine superano la posizione più alta in tempi molto diversi. La grana deriva dalla sensibilità alla partenza, quindi il tempo indicato per un passaggio tardivo è solo approssimativo.

La mappa mostra solo il primo passaggio per la posizione più alta, non dove il moto è caotico. Il caos non richiede che un braccio passi da lì: nei test della pagina, molte partenze con energia inferiore a 2 si comportano già in modo caotico.