Math

الفوضى · الطاقة والانتظام

البندول المزدوج

البندول المزدوج هو بندول معلق بطرف بندول آخر. تتبع حركته معادلات دقيقة، لكن عند التأرجح الكبير، تؤدي بدايتان تختلفان بجزء من مليون من الراديان إلى حركتين مختلفتين تمامًا بعد قليل؛ أما عند التأرجح الصغير فتبقى الحركة منتظمة.

البندول المزدوج في هذه المحاكاة

يتكوّن البندول المزدوج هنا من كتلتين نقطيتين متساويتين على قضيبين متساويي الطول وعديمي الكتلة، من دون احتكاك. تُقاس الزاويتان كلتاهما من الاتجاه الرأسي إلى الأسفل. في وحدات يكون فيها m=l=g=1m = l = g = 1، يُقاس الزمن بوحدة l/g\sqrt{l/g}، وتكون طاقة الارتفاع، محسوبة من وضع البندول المتدلّي الساكن،

V′(θ1,θ2)=3−2cos⁡θ1−cos⁡θ2.V'(\theta_1, \theta_2) = 3 - 2\cos\theta_1 - \cos\theta_2 .

يمكنك هنا ترك البندول من أي وضع وهو ساكن، وإطلاق ألف بندول شبه متطابق معًا، ورؤية أي البدايات تسمح لذراع بتجاوز القمة وأيها تفعل ذلك فعلًا.

افتراضيًا يُطلق ⁦1 000⁩ بندول معًا، بزوايا ابتدائية لأذرعها السفلية موزّعة ضمن جزء من مليون من الراديان. الخطوط الأثخن هي بندولك، والمسار يتبع ثقله السفلي. يعرض الرسم الصغير الطاقة، التي يبقى مجموعها ثابتًا أثناء انتقالها بين الارتفاع والحركة، والزاويتين مع الزمن. وتظهر نقطة حمراء كلما تجاوزت ذراع القمة.

معادلات الحركة دقيقة ولا تحتوي على أي عشوائية: البداية نفسها تعطي دائمًا الحركة نفسها. لكن من البداية الافتراضية، ⁦(120°, 60°)⁩، يصبح أبعد ثقل سفلي على مسافة تزيد على ⁦0.1⁩ من طول الذراع من ثقلك بحلول t≈33.5t \approx 33.5، وسرعان ما تتفرّق الحزمة إلى حركات مختلفة بوضوح. زيادة الدقة لا تكسب وقتًا كثيرًا. لهذه البداية، ينمو فرق ضئيل بمعامل يقارب ee كل ثلاث وحدات زمنية ما دام صغيرًا. لذا فإن توزيع الأذرع السفلية ضمن 10−910^{-9} راديان بدلًا من ذلك لا يؤخّر التباعد إلا إلى نحو ⁦56⁩. أما من تأرجح صغير، ⁦(30°, 30°)⁩، فلا تكاد الحزمة نفسها تتباعد حتى t=300t = 300.

التأرجحات الصغيرة منتظمة. عند الزوايا الصغيرة، تصبح المعادلات خطية ولها نمطان طبيعيان للاهتزاز، تحافظ فيهما الذراعان على إيقاع واحد:

ω2=(2∓2) gl,θ2=±2 θ1.\omega^2 = (2 \mp \sqrt2)\,\frac{g}{l}, \qquad \theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1 .

في النمط البطيء تتأرجح الذراعان في الاتجاه نفسه، وفي السريع تتأرجحان في اتجاهين متعاكسين. وكل تأرجح صغير هو مزيج من النمطين.

تضع الطاقة حدًا للحركة. من دون احتكاك، تبقى الطاقة الكلية E′E' ثابتة، ولا تكون طاقة الحركة سالبة أبدًا، لذا لا يستطيع البندول اتخاذ إلا أوضاع تحقق V′≤E′V' \le E'. لكي تتجه الذراع السفلية رأسيًا إلى الأعلى، يجب أن تبلغ V′V' ما لا يقل عن ⁦2⁩، وللذراع العلوية ما لا يقل عن ⁦4⁩. هاتان هما العلامتان على شريط الطاقة في الرسم الصغير. وطاقة البندول الذي يُترك من السكون هي طاقة وضعه الابتدائي، لذا

2cos⁡θ10+cos⁡θ20≥1⟺E′≤2⟹لا يتجاوز أي من الذراعين الوضع العلوي أبدًا.2\cos\theta_1^0 + \cos\theta_2^0 \ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad E' \le 2 \quad\Longrightarrow\quad \text{لا يتجاوز أي من الذراعين الوضع العلوي أبدًا}\text{.}

هذا برهان، لا محاكاة. بين ⁦2⁩ و⁦4⁩، قد تتجاوز الذراع السفلية وحدها القمة؛ وفوق ⁦4⁩، قد تتجاوزها كلتاهما. لكن الطاقة الكافية تسمح بذلك فقط، ولا تعني أن ذراعًا ستفعله. يحدّد الخط الأزرق المتقطّع على خريطة البدايات الأوضاع التي لها طاقة الارتفاع نفسها تمامًا مثل وضعك.

تعرض خريطة البدايات جميع البدايات من السكون دفعة واحدة: زاوية الذراع العلوية أفقيًا، وزاوية السفلية رأسيًا، مع وضع التدلّي في الوسط. تبيّن الخلايا الملوّنة وقت تجاوز أي من الذراعين القمة لأول مرة. أما الخلايا غير الملوّنة خارج التهشير فلم تتجاوز القمة حتى الزمن المعروض، الذي يصل إلى t=60t = 60. والمنطقة المهشّرة هي حيث تمنع الطاقة ذلك. بعيدًا عن التهشير، تنتظم الألوان في أشرطة عريضة. وقربه تتفتّت إلى حبيبات دقيقة، حيث تتجاوز بدايات متجاورة القمة في أوقات شديدة الاختلاف. تأتي هذه الحبيبات من الحساسية للبداية، لذا فإن الزمن المعروض لتجاوز متأخر ليس إلا قيمة تقريبية.

لا تعرض الخريطة إلا أول تجاوز للقمة، وليست خريطة لمواضع الحركة الفوضوية. لا تشترط الفوضى أن تتجاوز ذراع القمة: في اختبارات الصفحة، تتصرّف بدايات كثيرة ذات طاقة أقل من ⁦2⁩ بصورة فوضوية بالفعل.

أمور تستحق الانتباه

  • البندول المزدوج الحقيقي يتوقف. أما هذا فلا احتكاك فيه ويحتفظ بطاقته إلى الأبد؛ الحقيقي يتباطأ وينتهي متدلّيًا رأسيًا إلى الأسفل.

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Double pendulum (الإنجليزية); ويكيبيديا: Chaos theory (الإنجليزية); ويكيبيديا: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem (الإنجليزية).