Двойной маятник

Двойной маятник здесь состоит из двух одинаковых точечных масс на двух невесомых стержнях равной длины, без трения. Оба угла отсчитываются от вертикали вниз. В единицах, где $m = l = g = 1$, время измеряется в $\sqrt{l/g}$, а энергия высоты, отсчитанная от неподвижно висящего маятника, равна

Здесь можно отпустить маятник без начальной скорости из любого положения, одновременно запустить тысячу почти одинаковых маятников и увидеть, какие начальные положения допускают переход звена через верхнюю точку и из каких он действительно происходит.

По умолчанию одновременно отпускаются 1 000 маятников, начальные углы нижних звеньев которых распределены в пределах миллионной доли радиана. Толстые линии — твой маятник, а след идёт за его нижним грузом. Маленький график показывает энергию, общий запас которой сохраняется при переходах между высотой и движением, а также оба угла во времени. При каждом прохождении звена через верхнюю точку появляется красная точка.

Уравнения движения точны и не содержат случайности: одно и то же начальное состояние всегда даёт одно и то же движение. Но из начального положения по умолчанию, (120°, 60°), уже к $t \approx 33.5$ самый далёкий нижний груз находится от твоего более чем на 0,1 длины звена, и вскоре пучок расходится на явно разные движения. Повышение точности мало помогает. Для этого начального состояния крошечное различие, пока оно остаётся малым, вырастает примерно в $e$ раз за каждые три единицы времени. Поэтому сужение разброса углов нижних звеньев до $10^{-9}$ радиана лишь откладывает расхождение примерно до 56. При малом размахе, (30°, 30°), тот же пучок почти не расходится вплоть до $t = 300$.

Малые колебания упорядочены. При малых углах уравнения становятся линейными и имеют две нормальные моды, в каждой из которых оба звена сохраняют общий ритм:

В медленной моде звенья качаются в одну сторону, в быстрой — в противоположные. Любое малое колебание — смесь этих двух мод.

Энергия ставит границу. Без трения полная энергия $E'$ постоянна, а энергия движения неотрицательна, поэтому маятник может принимать лишь положения с $V' \le E'$. Чтобы нижнее звено смотрело вертикально вверх, $V'$ должна быть не меньше 2, а для верхнего звена — не меньше 4. Это две отметки на полоске энергии в маленьком графике. Маятник, отпущенный из состояния покоя, имеет энергию своего начального положения, поэтому

Это доказательство, а не симуляция. Между 2 и 4 через верх может пройти только нижнее звено, выше 4 — оба. Но достаточная энергия лишь допускает переход, а не означает, что он обязательно произойдёт. Синяя пунктирная линия на карте начальных положений отмечает положения с точно такой же энергией высоты, как у твоего маятника.

Карта начальных положений показывает сразу все старты из состояния покоя: угол верхнего звена по горизонтали, нижнего — по вертикали, а висящее положение в центре. Цветные клетки показывают время первого прохождения любого звена через верхнюю точку. Бесцветные клетки вне штриховки ещё не прошли через верх к показанному времени, которое доходит до $t = 60$. В заштрихованной области это запрещено энергией. Вдали от штриховки цвета образуют широкие полосы. Рядом они распадаются на мелкую зернистость: соседние начальные положения приводят к переходу через верх в очень разное время. Зернистость возникает из-за чувствительности к начальному состоянию, поэтому показанное время позднего перехода — лишь приближение.

Карта показывает только первый переход через верх; это не карта областей хаотического движения. Для хаоса не нужен переход звена через верх: в тестах этой страницы многие начальные состояния с энергией ниже 2 уже ведут себя хаотически.