雙擺

這裡的雙擺由兩根等長、沒有質量的桿，連接兩個質量相同的質點，且沒有摩擦。兩個角度都從鉛直向下量起。在$m = l = g = 1$的單位下，時間以$\sqrt{l/g}$計；以雙擺靜止下垂為基準，高度所對應的能量為

在這裡，你可以讓雙擺從任意姿勢靜止釋放，也可以讓一千個幾乎相同的雙擺一起釋放，看看哪些起點允許擺臂翻過頂端，哪些起點真的會翻過去。

預設會同時釋放1000個雙擺，下臂的初始角度分布在百萬分之一弧度的範圍內。粗線是你的雙擺，軌跡跟著它的下擺錘。小圖顯示能量在高度與運動之間轉換、總量保持不變，也顯示兩個角度隨時間的變化；每次有一支擺臂翻過頂端，就標上一個紅點。

運動方程是精確的，不含任何隨機性：相同起點總會產生相同運動。然而從預設起點(120°,60°)出發，到$t \approx 33.5$時，最遠的下擺錘已經離你的擺錘超過0.1個臂長，這一束雙擺隨後便散成明顯不同的運動。提高精度也爭取不到多少時間。對這個起點，微小差異在仍然很小時，大約每三個時間單位放大$e$倍；因此就算把下臂角度的分布範圍縮到$10^{-9}$弧度，也只是將分開的時刻延後到約56。若從小幅擺動的(30°,30°)出發，同樣一束雙擺到$t = 300$仍幾乎沒有分開。

小幅擺動是有序的。角度很小時，方程變成線性，並有兩種簡正模態，在每種模態中，兩支擺臂都保持同一節奏：

慢的模態中，兩支擺臂同向擺動；快的模態中則反向擺動。任何小幅擺動都是這兩種模態的疊加。

能量限制了可到達的範圍。沒有摩擦時，總能量$E'$保持不變，運動能量又不會為負，因此雙擺只能到達$V' \le E'$的姿勢。下臂要鉛直朝上，$V'$至少要是2；上臂要朝上，則至少要是4。這就是小圖能量條上的兩個刻度。從靜止釋放的雙擺，其能量就是起始姿勢的高度能量，所以

這是證明，不是模擬。能量介於2與4之間時，只有下臂可能翻過頂端；高於4時，兩支擺臂都有可能。但能量足夠只是允許翻越，不代表一定會翻。起點圖上的藍色虛線，標出高度能量與你的起點完全相同的姿勢。

起點圖一次顯示所有從靜止釋放的起點：橫軸是上臂角度，縱軸是下臂角度，下垂姿勢位於中央。有色格子顯示任一擺臂首次翻過頂端的時刻；斜線區外的無色格子表示直到顯示的時刻仍未翻越，最長計算到$t = 60$。斜線區則是能量不允許翻越的地方。遠離斜線區時，顏色形成寬帶；靠近時，顏色碎成細粒，相鄰起點翻越的時刻相差很大。這些細粒來自對初始狀態的敏感，因此很晚才翻越的格子，顯示時刻只是近似值。

起點圖只記錄第一次翻越，並不是顯示哪裡混沌的地圖。混沌不需要擺臂翻過頂端：在本頁的檢驗中，許多能量低於2的起點，已經呈現混沌行為。