Bandul ganda

Bandul ganda di sini terdiri dari dua massa titik yang sama pada dua batang sama panjang tanpa massa, tanpa gesekan. Kedua sudut diukur dari arah tegak ke bawah. Dalam satuan dengan $m = l = g = 1$, waktu dihitung dalam $\sqrt{l/g}$, dan energi karena ketinggian, dengan acuan bandul yang menggantung diam, adalah

Di sini kamu bisa melepaskan bandul dari posisi diam apa pun, melepas seribu bandul yang hampir identik bersama-sama, dan melihat kondisi awal mana yang memungkinkan batang melewati posisi teratas serta mana yang benar-benar melakukannya.

Secara bawaan, 1.000 bandul dilepas bersamaan, dengan sudut batang bawah tersebar dalam rentang sepersejuta radian. Garis yang lebih tebal adalah bandulmu, dan jejak mengikuti beban bawahnya. Grafik kecil menunjukkan energi, yang jumlahnya tetap saat bertukar antara ketinggian dan gerak, serta kedua sudut sepanjang waktu. Titik merah muncul setiap kali sebuah batang melewati posisi teratas.

Persamaan geraknya eksak dan tidak mengandung keacakan: kondisi awal yang sama selalu menghasilkan gerak yang sama. Namun, dari kondisi awal bawaan, (120°, 60°), beban bawah yang paling jauh sudah berjarak lebih dari 0,1 panjang batang dari milikmu pada $t \approx 33.5$, dan kumpulan itu segera menyebar menjadi gerak yang jelas berbeda. Presisi yang lebih tinggi hanya sedikit membantu. Untuk kondisi awal ini, selisih yang sangat kecil membesar kira-kira $e$ kali setiap tiga satuan waktu selama selisih itu masih kecil. Jadi, mempersempit sebaran batang bawah menjadi $10^{-9}$ radian hanya menunda perpisahan hingga sekitar 56. Dari ayunan kecil, (30°, 30°), kumpulan yang sama hampir tidak terpisah hingga $t = 300$.

Ayunan kecil bersifat teratur. Untuk sudut kecil, persamaan menjadi linear dan memiliki dua modus normal, dengan kedua batang mempertahankan satu irama:

Pada modus lambat, kedua batang berayun searah; pada modus cepat, keduanya berlawanan arah. Setiap ayunan kecil adalah campuran keduanya.

Energi memberi batas. Tanpa gesekan, energi total $E'$ tetap dan energi gerak tidak pernah negatif, sehingga bandul hanya dapat mengambil posisi dengan $V' \le E'$. Agar batang bawah menunjuk tegak ke atas, $V'$ harus setidaknya 2; untuk batang atas, setidaknya 4. Itulah dua tanda pada batang energi di grafik kecil. Bandul yang dilepas dari keadaan diam memiliki energi sesuai posisi awalnya, sehingga

Itu adalah pembuktian, bukan simulasi. Antara 2 dan 4, hanya batang bawah yang mungkin melewati posisi teratas; di atas 4, keduanya mungkin. Namun, energi yang cukup hanya memungkinkan, bukan menjamin batang akan melewatinya. Garis biru putus-putus pada peta kondisi awal menandai posisi dengan energi ketinggian yang persis sama dengan milikmu.

Peta kondisi awal menampilkan semua kondisi awal dari keadaan diam sekaligus: sudut batang atas pada arah mendatar, sudut batang bawah pada arah tegak, dan posisi menggantung di tengah. Sel berwarna menunjukkan kapan salah satu batang pertama kali melewati posisi teratas. Sel tanpa warna di luar arsiran belum melewatinya hingga waktu yang ditampilkan, yang berjalan sampai $t = 60$. Wilayah berarsir adalah tempat energi melarangnya. Jauh dari arsiran, warna membentuk pita lebar. Di dekatnya, warna pecah menjadi butiran halus, dengan kondisi awal berdekatan melewati posisi teratas pada waktu yang sangat berbeda. Butiran ini timbul karena kepekaan terhadap kondisi awal, sehingga waktu yang ditampilkan untuk batang yang baru melewati posisi teratas setelah waktu lama hanyalah perkiraan.

Peta hanya menunjukkan saat pertama melewati posisi teratas, bukan peta letak gerak kacau. Kekacauan tidak mengharuskan batang melewati posisi teratas: dalam pengujian halaman ini, banyak kondisi awal dengan energi di bawah 2 sudah berperilaku kacau.