Fraktal bandul ganda

Fraktal bandul ganda adalah peta titik awal. Setiap titik mewakili satu bandul ganda yang dilepas dari diam; koordinatnya adalah sudut batang atas $\theta_1$ dan batang bawah $\theta_2$ terhadap arah vertikal ke bawah. Warnanya menunjukkan saat salah satu batang pertama kali melewati puncak. Titik terang lewat lebih awal, titik gelap lebih lambat atau belum hingga $t = 60$. Ini adalah gambar waktu lintasan pertama, sejenis dengan pewarnaan himpunan Mandelbrot berdasarkan waktu lolos. Di sini Anda dapat melihat peta muncul, membandingkan dua titik awal tetangga, dan memperbesarnya.

Modelnya: dua massa titik yang sama pada dua batang sama panjang tanpa massa, tanpa gesekan, dengan $m = l = g = 1$ sehingga satuan waktunya adalah $\sqrt{l/g}$.

Lensa di tengah tidak pernah menyala, berapa lama pun Anda menunggu. Saat dilepas dari diam, seluruh energinya berupa energi potensial, diukur dari posisi diam menggantung ke bawah,

dan tetap sama selama gerakan. Ketika batang bawah menunjuk lurus ke atas, energi potensialnya sedikitnya 2; untuk batang atas, sedikitnya 4. Maka, di semua tempat dengan $E \le 2$, yaitu $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$, tidak ada batang yang dapat melewati puncak. Kurva samar di dalam lensa menghubungkan titik awal berenergi sama, dari $E = 0.25$ dekat tengah hingga tepi pada $E = 2$: kurva itu menunjukkan kekurangan energi untuk mencapai puncak. Namun, energi yang cukup bukan jaminan: banyak titik awal tepat di luar lensa belum melewati puncak hingga $t = 60$.

Pita lebar yang mulus berdampingan dengan serat halus karena gerakan sebelum melewati puncak. Dalam sebuah pita, batang bawah melewati puncak pada ayunan besar pertama atau kedua; gerakan sebelumnya singkat dan teratur, sehingga titik awal yang dekat tetap dekat sampai melewati puncak bersama. Tepi di antara dua pita seperti ini terdiri atas titik awal yang baru saja mampu mencapai puncak: di satu sisi batang lewat, di sisi lain jatuh kembali dan baru lewat satu ayunan kemudian. Dalam serat, bandul sudah lama bergerak tidak teratur sebelum melewati puncak. Selisih kecil cepat membesar dan perbedaan awal yang sangat kecil menentukan ayunan mana yang akhirnya membawa batang melewati puncak.

Memperbesar serat tidak sekadar menampilkan pola yang sama lagi: serat terpecah menjadi pita yang lebih tipis, lebih banyak, dan hampir sejajar, lapis demi lapis. Tepi antara dua pita yang lewat lebih awal tetap menjadi garis jelas saat diperbesar. Halaman ini berhenti pada sepuluh ribu kali. Di luar itu, makin banyak sel yang lewat terlambat berubah menurut metode perhitungan, dan gambar tidak lagi hanya menunjukkan bandul itu sendiri.