Çift sarkaç fraktalı

Çift sarkaç fraktalı bir başlangıç haritasıdır. Her nokta, durgun halde bırakılan bir çift sarkaçtır; koordinatları, üst kolun $\theta_1$ ve alt kolun $\theta_2$ aşağı yönlü düşeyle yaptığı açılardır. Renk, kollardan birinin ilk kez tepeyi aştığı zamanı gösterir. Açık noktalar erken, koyu noktalar geç aşar ya da $t = 60$’a kadar hiç aşmaz. Bu, Mandelbrot kümesinin kaçış zamanına göre renklendirilmesiyle aynı türden bir ilk geçiş zamanı görüntüsüdür. Burada haritanın ortaya çıkışını izleyebilir, iki komşu başlangıcı karşılaştırabilir ve büyütebilirsiniz.

Model: Eşit uzunlukta, kütlesiz iki çubuk üzerindeki eşit iki noktasal kütle; sürtünme yoktur. $m = l = g = 1$ alınır, böylece zaman birimi $\sqrt{l/g}$ olur.

Ortadaki mercek, ne kadar beklerseniz bekleyin hiç yanmaz. Durgun halde bırakılırken enerjinin tamamı, aşağıya sarkmış hareketsiz duruma göre ölçülen potansiyel enerjidir,

ve hareket boyunca değişmez. Alt kol doğrudan yukarı bakarken potansiyel enerji en az 2, üst kol yukarı bakarken en az 4’tür. Bu yüzden $E \le 2$, yani $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$ olan yerlerde hiçbir kol tepeyi aşamaz. Merceğin içindeki soluk eğriler, merkeze yakın $E = 0.25$ ile kenardaki $E = 2$ arasında eşit enerjili başlangıçları birleştirir; bu sarkaçların tepeye ulaşmak için ne kadar eksiği olduğunu gösterir. Yeterli enerji bir garanti değildir: Merceğin hemen dışındaki birçok başlangıç da $t = 60$’a kadar tepeyi aşmaz.

Düzgün geniş bantların yanında ince iplikler bulunmasının nedeni, tepeyi aşmadan önceki harekettir. Bir bantta alt kol, birinci ya da ikinci büyük salınımda tepeyi aşar. Öncesindeki hareket kısa ve düzenlidir; yakın başlangıçlar birlikte aşana kadar yakın kalır. Böyle iki bant arasındaki kenar, tepeye ancak ulaşan başlangıçlardan oluşur: Bir tarafta kol aşar, diğer tarafta geri düşüp bir salınım sonra aşar. Bir iplikte ise sarkaç tepeyi aşmadan önce uzun süre düzensiz salınmıştır. Küçük farklar hızla büyür ve başlangıçtaki ufacık bir fark, kolu sonunda hangi salınımın tepeden geçireceğini belirler.

Bir ipliği büyüttüğünüzde aynı desen yeniden belirmez: Katman katman, daha çok, daha ince ve neredeyse paralel bantlara ayrılır. Tepeyi erken aşan iki bant arasındaki kenar büyütüldüğünde düzgün bir çizgi kalır. Sayfa on bin katta durur. Bunun ötesinde, geç aşan hücrelerin giderek daha büyük bir bölümü hesaplama yöntemine göre değişir ve resim artık yalnızca sarkacı göstermez.