双摆分形

双摆分形是一张起点图。每一点是一个双摆：上臂与竖直向下的夹角$\theta_1$、下臂的$\theta_2$就是这一点的两个坐标，从静止放手；颜色是它第一次有一节翻过顶的时刻。亮的翻得早，暗的翻得晚，或者到$t = 60$还没翻。这是一张首达时间图，和曼德博集合按逃逸时间上色是同一类。在这一页，你可以看这张图显影，把相邻的两个起点放在一起比较，还可以放大。

模型：两根一样长、没有重量的硬杆，挂着两个一样重的质点，没有摩擦；取$m = l = g = 1$，时间以$\sqrt{l/g}$计。

中间的透镜永远不会亮，多等也没有用。从静止放手时，能量全是高度，从静止下垂算起

而且摆动起来以后一直不变。下臂朝正上方时高度至少是2，上臂朝上时至少是4。所以只要$E \le 2$，也就是$2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$，两节都永远翻不过顶。透镜里的淡线把能量相同的起点连起来，从中间附近的$E = 0.25$一圈圈到边上的$E = 2$，看得出这些摆离够到顶还差多少。不过能量够了也不保证会翻：透镜外紧挨着的许多起点，到$t = 60$都还没翻。

平滑的宽带旁边是细丝，原因在翻过顶之前发生的事。宽带里，下臂第一次或第二次大摆就翻过顶，翻之前的运动短而规则，挨得近的起点一路靠在一起，一起翻。两条这样的宽带之间的边，是刚好够到顶的起点：一边这一次就翻过去了，另一边差一点落回来，下一次才翻。细丝里，摆在翻过顶之前已经乱摆了很久，微小的差别很快变大，起点差一点点，就决定了哪一次摆能把一节送过顶。

放大一根细丝，看到的不是同一个图案的缩小，而是更多、更细、几乎平行的带，一层接一层。两条早翻的宽带之间的边，放大以后还是一条干净的线。本页放到一万倍为止：再往里，晚翻的格子里有越来越多会随计算方法变，画面就不再只是摆本身。