이중 진자 프랙털

이중 진자 프랙털은 시작점의 지도입니다. 각 점은 하나의 이중 진자이며, 위쪽 막대 $\theta_1$와 아래쪽 막대 $\theta_2$가 수직 아래 방향과 이루는 두 각도가 좌표입니다. 그 상태에서 정지한 채 놓았을 때 어느 한 막대가 처음 꼭대기를 넘는 시각을 색으로 나타냅니다. 밝은 점은 일찍, 어두운 점은 늦게 넘거나 $t = 60$까지 넘지 않습니다. 이는 최초 도달 시간의 그림으로, 만델브로 집합을 탈출 시간으로 색칠하는 것과 같은 종류입니다. 여기서는 지도가 현상되는 모습을 보고, 이웃한 두 시작점을 비교하고, 확대할 수 있습니다.

모델은 같은 질량의 두 질점을 길이가 같고 질량이 없는 두 막대에 연결한 것으로, 마찰은 없습니다. $m = l = g = 1$으로 두어 시간 단위가 $\sqrt{l/g}$이 되게 합니다.

가운데 렌즈 모양 영역은 아무리 기다려도 빛나지 않습니다. 정지 상태에서 놓을 때 에너지는 모두 위치 에너지이며, 가만히 아래로 늘어진 상태를 기준으로 하면

이고, 움직이는 동안에도 일정합니다. 아래쪽 막대가 수직 위를 향할 때 위치 에너지는 적어도 2, 위쪽 막대가 위를 향하면 적어도 4입니다. 따라서 $E \le 2$, 즉 $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$인 곳에서는 어느 막대도 꼭대기를 넘어갈 수 없습니다. 렌즈 안의 희미한 곡선은 에너지가 같은 시작점들을 연결하며, 중심 근처의 $E = 0.25$부터 경계의 $E = 2$까지 이어집니다. 꼭대기를 넘기에 얼마나 부족한지를 보여 줍니다. 다만 에너지가 충분하다고 반드시 넘는 것은 아닙니다. 렌즈 바로 밖의 많은 시작점도 $t = 60$까지 넘지 않습니다.

매끄럽고 넓은 띠 옆에 가는 실무늬가 있는 이유는 꼭대기를 넘기 전의 운동에 있습니다. 띠 안에서는 아래쪽 막대가 첫 번째나 두 번째 큰 흔들림에 넘습니다. 그전까지의 운동은 짧고 규칙적이어서 가까운 시작점들은 가까이 움직이다 함께 넘습니다. 그런 두 띠의 경계는 간신히 꼭대기에 닿는 시작점들입니다. 한쪽에서는 넘어가지만 다른 쪽에서는 되돌아와 한 번 더 흔들린 뒤 넘습니다. 실무늬 안에서는 넘기 전까지 이미 오랫동안 불규칙하게 흔들렸습니다. 작은 차이가 빠르게 커지며, 시작점의 미세한 차이가 어느 흔들림에서 마침내 막대가 꼭대기를 넘을지 결정합니다.

실무늬를 확대하면 같은 무늬가 그대로 나타나는 것이 아니라, 더 가늘고 많은 거의 평행한 띠들이 겹겹이 드러납니다. 일찍 넘는 두 띠의 경계는 확대해도 깔끔한 선입니다. 이 페이지는 만 배에서 멈춥니다. 그 너머에서는 늦게 넘는 칸 중 계산 방법에 따라 결과가 달라지는 비율이 커져, 그림이 진자 자체만을 보여 주지 않게 됩니다.