كسيرية البندول المزدوج

كسيرية البندول المزدوج خريطة للبدايات. كل نقطة تمثّل بندولًا مزدوجًا يُترك من السكون؛ وإحداثياها هما زاويتا الذراع العلوية $\theta_1$ والسفلية $\theta_2$ مع الاتجاه الرأسي إلى أسفل. يبيّن اللون وقت عبور إحدى الذراعين فوق القمة لأول مرة. تعبر النقاط الفاتحة مبكرًا، والداكنة متأخرًا أو لا تعبر حتى $t = 60$. إنها صورة لأزمنة الوصول الأول، من النوع نفسه لتلوين مجموعة ماندلبروت بحسب زمن الهروب. هنا يمكنك مشاهدة ظهور الخريطة تدريجيًا، ومقارنة بدايتين متجاورتين، وتكبيرها.

النموذج: كتلتان نقطيتان متساويتان على قضيبين متساويي الطول وعديمي الكتلة، بلا احتكاك، مع $m = l = g = 1$؛ فتكون وحدة الزمن $\sqrt{l/g}$.

العدسة في الوسط لا تضيء أبدًا، مهما انتظرت. عند الترك من السكون تكون الطاقة كلها طاقة وضع، مقيسة من حالة التدلي الساكن إلى أسفل،

وتبقى ثابتة أثناء الحركة. عندما تتجه الذراع السفلية رأسيًا إلى أعلى، تبلغ طاقة الوضع 2 على الأقل؛ وللذراع العلوية 4 على الأقل. لذا، حيثما $E \le 2$، أي $2\cos\theta_1 + \cos\theta_2 \ge 1$، لا يمكن لأي من الذراعين عبور القمة. تصل المنحنيات الباهتة داخل العدسة بين بدايات متساوية الطاقة، من $E = 0.25$ قرب الوسط إلى الحافة عند $E = 2$؛ فتبيّن مقدار ما ينقص تلك البندولات لبلوغ القمة. لكن كفاية الطاقة لا تضمن العبور: كثير من البدايات خارج العدسة مباشرة لم تعبر حتى $t = 60$.

تجاور الأشرطة العريضة الملساء خيوطًا دقيقة بسبب ما يحدث قبل العبور. داخل الشريط، تتجاوز الذراع السفلية القمة في أول تأرجح كبير أو ثانيه؛ وتكون الحركة قبل ذلك قصيرة ومنتظمة، فتظل البدايات المتقاربة متقاربة حتى تعبر معًا. تتكوّن الحافة بين شريطين من بدايات تكاد تبلغ القمة: على جانب تعبر الذراع، وعلى الآخر ترجع ثم تعبر بعد تأرجح إضافي. داخل الخيط، يكون البندول قد تأرجح بصورة غير منتظمة مدة طويلة قبل العبور. تنمو الفروق الصغيرة بسرعة، ويحدّد فرق ضئيل في البداية أي تأرجح سيحمل الذراع أخيرًا فوق القمة.

عند تكبير خيط لا يظهر النمط نفسه ببساطة، بل ينقسم إلى أشرطة أرفع وأكثر عددًا وشبه متوازية، طبقة بعد طبقة. تبقى الحافة بين شريطين ذوي عبور مبكر خطًا واضحًا عند تكبيرها. تتوقف الصفحة عند عشرة آلاف مرة. بعد ذلك تتغير نسبة متزايدة من الخلايا التي تعبر متأخرًا بحسب طريقة الحساب، فلا تعود الصورة تعبّر عن البندول وحده.