Çift sarkaç

Buradaki çift sarkaç, eşit uzunlukta ve kütlesiz iki çubuğa bağlı, birbirine eşit iki noktasal kütleden oluşur; sürtünme yoktur. İki açı da dikey aşağı yönünden ölçülür. $m = l = g = 1$ olan birimlerde zaman $\sqrt{l/g}$ cinsinden ölçülür; sarkacın hareketsizce aşağı sarktığı duruma göre yüksekliğin enerjisi

Burada sarkacı istediğin duruşta hareketsizken bırakabilir, neredeyse aynı bin sarkacı birlikte serbest bırakabilir ve hangi başlangıçlarda bir kolun tepeyi aşabileceğini, hangilerinde gerçekten aştığını görebilirsin.

Varsayılan olarak 1.000 sarkaç birlikte bırakılır; alt kollarının başlangıç açıları bir radyanın milyonda biri kadar bir aralığa yayılmıştır. Kalın çizgiler senin sarkacındır ve iz, onun alt kütlesini takip eder. Küçük grafik, yükseklik ile hareket arasında aktarılırken toplamı sabit kalan enerjiyi ve iki açının zamanla değişimini gösterir. Bir kol tepeyi her geçtiğinde kırmızı bir nokta belirir.

Hareket denklemleri kesindir ve içlerinde rastgelelik yoktur: aynı başlangıç her zaman aynı hareketi verir. Yine de varsayılan başlangıçtan, (120°, 60°), $t \approx 33.5$ anına gelindiğinde en uzaktaki alt kütle seninkinden kol uzunluğunun 0,1 katından fazla uzaklaşmıştır; demet kısa sürede belirgin biçimde farklı hareketlere dağılır. Daha yüksek hassasiyet fazla zaman kazandırmaz. Bu başlangıçta, çok küçük bir fark küçük kaldığı sürece yaklaşık her üç zaman biriminde $e$ katına çıkar. Bu yüzden alt kolların açılarını $10^{-9}$ radyanlık bir aralığa yaymak, ayrışmayı yalnızca yaklaşık 56’ya erteler. Küçük bir salınımdan, (30°, 30°), başlandığında aynı demet $t = 300$ boyunca neredeyse hiç ayrışmaz.

Küçük salınımlar düzenlidir. Küçük açılarda denklemler doğrusal hâle gelir ve her ikisinde de kolların ortak bir ritmi koruduğu iki normal mod vardır:

Yavaş modda kollar aynı yönde, hızlı modda birbirine ters yönde salınır. Her küçük salınım bu ikisinin karışımıdır.

Enerji bir sınır çizer. Sürtünme yokken toplam enerji $E'$ sabit kalır ve hareket enerjisi hiçbir zaman negatif olmaz; dolayısıyla sarkaç yalnızca $V' \le E'$ olan duruşları alabilir. Alt kolun dikey yukarı bakması için $V'$ en az 2, üst kol için en az 4 olmalıdır. Küçük grafiğin enerji çubuğundaki iki işaret bunlardır. Hareketsiz bırakılan sarkacın enerjisi başlangıç duruşunun enerjisidir, dolayısıyla

Bu bir kanıttır, simülasyon değildir. 2 ile 4 arasında yalnızca alt kol tepeyi aşabilir; 4’ün üzerinde iki kol da aşabilir. Ama yeterli enerji bunu yalnızca mümkün kılar; bir kolun gerçekten aşacağını söylemez. Başlangıç haritasındaki mavi kesikli çizgi, seninkiyle tam olarak aynı yükseklik enerjisine sahip duruşları gösterir.

Başlangıç haritası, hareketsiz bırakılan bütün başlangıçları bir arada gösterir: yatayda üst kolun, dikeyde alt kolun açısı vardır; aşağı sarkan duruş ortadadır. Renkli hücreler kollardan birinin tepeyi ilk ne zaman geçtiğini gösterir. Taralı bölge dışındaki renksiz hücrelerde, gösterilen zamana kadar geçiş olmamıştır; gösterim en fazla $t = 60$ değerine ilerler. Taralı bölge, enerjinin geçişe izin vermediği yerdir. Taramadan uzakta renkler geniş şeritler oluşturur. Yakınında ise ince tanelere ayrılır; burada komşu başlangıçlar tepeyi çok farklı zamanlarda aşar. Bu tanelenme başlangıca duyarlılıktan doğar, dolayısıyla geç gerçekleşen bir aşma için gösterilen zaman yalnızca yaklaşık bir değerdir.

Harita yalnızca ilk tepe geçişini gösterir; hareketin nerede kaotik olduğunun haritası değildir. Kaos için bir kolun tepeyi aşması gerekmez: sayfanın testlerinde enerjisi 2’nin altında olan birçok başlangıç zaten kaotik davranır.