Üç cisim problemi

Her cisim, diğer iki cisme doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılı bir kuvvetle çekilir; kütleçekim sabiti ve kütleler 1 alındığında $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. İki cismin hareketi, ortak merkezleri çevresinde dolanan tek bir cismin hareketine indirgenebilir; korunan enerji ve açısal momentum, yörüngeyi bir konik kesit olarak belirler. Üç cisimde de aynı büyüklükler korunur, ancak genel durumda bunlar hareketi bir formüle indirgemeye yetmez; bu sayfada olduğu gibi adım adım hesaplamak gerekir. Başlangıçlar, iki sayıyla belirlenen bir kesitten alınır: 1. ve 2. cisimler $x = \mp 1$ konumlarında, 3. cisim aralarındadır; hızları sırasıyla $(p, q)$, $(p, q)$ ve $(-2p, -2q)$ olur. Böylece momentum ve açısal momentum sıfır, enerji ise $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$ olur. Başlangıç koşulları haritasındaki her nokta bir başlangıçtır; rengi üçlünün ne zaman dağıldığını gösterir.

Yakın bir geçiş, iki cismi daha sıkı bağlayıp açığa çıkan enerjiyi üçüncü cisme aktarabilir. Yeterli enerji alan üçüncü cisim ayrılır; momentum sıfır olduğundan o ve çift ters yönlerde uzaklaşır, çiftin hızı onun yarısıdır. Bu sayfada, bir cisim bağlı çiftin merkezinden 5 birimden ve çiftin kendi arasındaki uzaklığın 10 katından daha uzakta, çifte göre pozitif enerjiyle uzaklaşıyorsa sistem dağılmış sayılır. Bu bir ölçüttür, ispat değil: haritadan alınan bu tür 500 dağılmanın hesabı 300 zaman birimi daha sürdürüldü ve hepsinde uzaklaşma devam etti. Haritadaki $E < 0$ koşulunu sağlayan 72719 başlangıcın %60'ı, hesaplanan 400 zaman birimi içinde dağılır. $p^2 + q^2 = 5/6$ çemberinin dışında enerji negatif değildir ve Lagrange–Jacobi özdeşliği sonsuza dek bir arada kalmayı dışlar: $I = \sum |\mathbf x_i|^2$ için $\ddot I = 4E + 2|U|$ olur; dolayısıyla uzaklıklar sınırlı kalsaydı, $|U|$ bir $c > 0$ değerinin üzerinde kalır ve $I$ sınırsız büyürdü.

Periyodik bir yörünge kendi başlangıcına döner. Cris Moore'un 1993'te bulduğu ve Alain Chenciner ile Richard Montgomery'nin 2000'de varlığını ispatladığı sekiz yörüngesinde üç cisim aynı eğri üzerinde birbirini takip eder. Milovan Šuvakov ve Veljko Dmitrašinović, 2013'te bu kesitte 13 yeni aile buldu; bunların dördü haritada işaretlidir ve başlangıçları yüksek hassasiyetle saklanır. Küçük bir sapma, her periyotta yörüngenin belirlediği bir çarpanla büyür: sekiz ve güve için yaklaşık 1, yusufçuk için 1.31, kelebek için 1.78, gözlük için 21. Gözlük için itmeye gerek yoktur: hesaplamanın kendi küçük hataları, yaklaşık yedi periyot sonra yörünge kaybolana kadar büyür. «1. cismi it» düğmesi 1. cismin hızını 0.001 değiştirerek biraz enerji ve açısal momentum ekler; bu yüzden itilen sekiz yavaşça bir bütün olarak döner. Kayıt, bu dönmeyi çıkardıktan sonra biçimleri karşılaştırır.

Newton, hem Dünya'nın hem Güneş'in çektiği Ay'ın, başını ağrıtan tek problem olduğunu söylemişti. Henri Poincaré'nin 1890'da yayımlanan ödüllü çalışması bu tür problemlerin neden zor olduğunu gösterdi: bazı yörüngelerin yakınında hareket, uzun vadeli öngörüyü bozan düğümler oluşturur. Bu, bugün kaos dediğimiz olgunun ilk görünüşüydü. Buradaki cisimler yalnızca bir düzlemdeki eşit noktasal kütlelerdir; boyutları yoktur, çarpışmalar ve birleşmeler simüle edilmez. Bu sistem, Liu Cixin'in romanındaki üç güneş ve bir gezegen de değildir.