Masalah tiga benda

Setiap benda ditarik ke arah setiap benda lain oleh gaya yang berkurang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Dengan konstanta gravitasi dan masing-masing massa ditetapkan sebesar 1, $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. Masalah dua benda dapat direduksi menjadi satu benda yang mengorbit pusat massa bersama; energi dan momentum sudut yang kekal menentukan lintasannya sebagai irisan kerucut. Tiga benda mempertahankan besaran yang sama, tetapi umumnya besaran itu tidak lagi cukup untuk mereduksi gerak menjadi sebuah rumus. Geraknya dihitung selangkah demi selangkah, seperti pada halaman ini. Kondisi awal di sini berada pada satu irisan yang ditentukan oleh dua bilangan: benda 1 dan 2 di $x = \mp 1$, benda 3 di antaranya, dengan kecepatan berturut-turut $(p, q)$, $(p, q)$, dan $(-2p, -2q)$. Momentum total dan momentum sudutnya lalu nol, dan energinya $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Setiap titik pada peta kondisi awal mewakili satu kondisi awal, dengan warna menurut waktu ketiganya tercerai.

Saat berpapasan dekat, sepasang benda dapat terikat lebih erat dan menyerahkan energi yang dilepaskannya kepada benda ketiga. Jika mendapat cukup energi, benda ketiga pergi. Karena momentum totalnya nol, benda itu dan pasangan tadi bergerak menjauh ke arah berlawanan, dengan laju pasangan sebesar setengah laju benda tersebut. Halaman ini menyatakan ketiganya tercerai ketika satu benda berjarak lebih dari 5 satuan dari pusat pasangan terikat sekaligus lebih dari 10 kali jarak antarbenda dalam pasangan, dan bergerak menjauh dengan energi positif relatif terhadap pasangan itu. Ini kriteria pengujian, bukan bukti; 500 kasus tercerai dari peta, yang diikuti selama 300 satuan waktu lagi, semuanya terus menjauh. Dari 72719 kondisi awal pada peta dengan $E < 0$, 60% tercerai dalam 400 satuan waktu yang dihitung. Di luar lingkaran $p^2 + q^2 = 5/6$, energinya tidak negatif, dan identitas Lagrange–Jacobi meniadakan kemungkinan untuk terus bersama: untuk $I = \sum |\mathbf x_i|^2$, berlaku $\ddot I = 4E + 2|U|$, sehingga jika jarak-jaraknya tetap terbatas, $|U|$ akan tetap lebih besar daripada suatu $c > 0$ dan $I$ akan tumbuh tanpa batas.

Orbit periodik kembali ke keadaan awalnya sendiri. Pada orbit angka delapan, yang ditemukan Cris Moore pada 1993 dan dibuktikan keberadaannya oleh Alain Chenciner dan Richard Montgomery pada 2000, ketiga benda saling mengejar di sepanjang satu kurva. Milovan Šuvakov dan Veljko Dmitrašinović menemukan 13 keluarga baru pada irisan ini pada 2013; empat ditandai di peta, dengan kondisi awal yang disimpan pada presisi tinggi. Penyimpangan kecil membesar setiap periode dengan faktor yang ditentukan oleh orbitnya: sekitar 1 untuk angka delapan dan ngengat, 1.31 untuk capung, 1.78 untuk kupu-kupu, dan 21 untuk kacamata pelindung. Kacamata pelindung tidak perlu didorong: galat kecil dari perhitungan itu sendiri membesar hingga orbitnya hilang setelah sekitar tujuh periode. Tombol “Dorong benda 1” mengubah kecepatan benda 1 sebesar 0.001, menambah sedikit energi dan momentum sudut, sehingga seluruh pola angka delapan yang didorong berputar perlahan. Catatan membandingkan bentuk setelah putaran seluruh pola itu dikeluarkan dari perbandingan.

Newton mengatakan bahwa Bulan, yang ditarik oleh Bumi dan Matahari sekaligus, adalah satu-satunya masalah yang membuat kepalanya sakit. Esai pemenang hadiah Henri Poincaré yang diterbitkan pada 1890 menunjukkan mengapa masalah seperti ini sulit dipecahkan: di dekat beberapa orbit, gerak melipat dan saling membelit sehingga menggagalkan prediksi jangka panjang. Inilah sekilas pandangan pertama tentang apa yang kini disebut kekacauan. Benda-benda di sini hanyalah massa titik yang sama besar dalam sebuah bidang. Benda-benda itu tidak memiliki ukuran, tumbukan dan penggabungan tidak disimulasikan, dan ini bukan tiga matahari dan satu planet dalam novel Liu Cixin.