Dreikörperproblem

Jeder Körper wird von jedem anderen mit einer Kraft angezogen, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist; setzt man die Gravitationskonstante und die Massen gleich 1, gilt $\ddot{\mathbf x}_i = \sum_{j \ne i} (\mathbf x_j - \mathbf x_i)/|\mathbf x_j - \mathbf x_i|^3$. Bei zwei Körpern lässt sich die Bewegung auf eine Bahn um ihren gemeinsamen Schwerpunkt zurückführen; die Erhaltung von Energie und Drehimpuls legt sie auf einen Kegelschnitt fest. Auch bei drei Körpern bleiben dieselben Größen erhalten, doch im Allgemeinen lässt sich ihre Bewegung damit nicht mehr auf eine Formel zurückführen; sie wird Schritt für Schritt berechnet, wie auf dieser Seite. Die Anfangsbedingungen liegen hier in einem durch zwei Zahlen bestimmten Schnitt: Körper 1 und 2 bei $x = \mp 1$, Körper 3 dazwischen, mit den Geschwindigkeiten $(p, q)$, $(p, q)$ und $(-2p, -2q)$. Impuls und Drehimpuls sind dann null, die Energie ist $E = 3(p^2 + q^2) - 5/2$. Jeder Punkt der Karte der Anfangsbedingungen steht für einen Anfangszustand; seine Farbe zeigt, wann sich die drei trennen.

Bei einer nahen Begegnung kann sich ein Paar enger binden und die dabei freigesetzte Energie an den dritten Körper abgeben. Erhält dieser genug davon, verlässt er das Paar. Da der Impuls null ist, fliegen er und das Paar in entgegengesetzte Richtungen, das Paar mit seiner halben Geschwindigkeit. Auf dieser Seite gilt ein Lauf als getrennt, wenn ein Körper mehr als 5 Einheiten vom Schwerpunkt eines gebundenen Paares und mehr als das 10-Fache des Paarabstands entfernt ist und sich mit positiver Energie relativ zum Paar von ihm entfernt. Das ist ein Kriterium, kein Beweis; bei 500 solchen Trennungen aus der Karte, die weitere 300 Zeiteinheiten verfolgt wurden, nahm der Abstand zwischen dem entweichenden Körper und dem Paar in allen Fällen weiter zu. Von den 72.719 Anfangsbedingungen der Karte mit $E < 0$ führen 60 % innerhalb der berechneten 400 Zeiteinheiten zur Trennung. Außerhalb des Kreises $p^2 + q^2 = 5/6$ ist die Energie nicht negativ, und die Lagrange–Jacobi-Identität schließt dauerhaftes Zusammenbleiben aus: Für $I = \sum |\mathbf x_i|^2$ gilt $\ddot I = 4E + 2|U|$. Blieben die Abstände beschränkt, so bliebe $|U|$ über einem gewissen $c > 0$, und $I$ würde unbegrenzt wachsen.

Eine periodische Bahn kehrt zu ihrem eigenen Anfang zurück. Auf der Acht, die Cris Moore 1993 fand und deren Existenz Alain Chenciner und Richard Montgomery 2000 bewiesen, folgen die drei einander auf derselben Kurve. Milovan Šuvakov und Veljko Dmitrašinović fanden 2013 in diesem Schnitt 13 neue Familien; vier sind auf der Karte markiert, ihre Anfangsbedingungen mit hoher Genauigkeit gespeichert. Eine kleine Abweichung wächst in jeder Periode um einen von der Bahn bestimmten Faktor: etwa 1 bei Acht und Motte, 1,31 bei der Libelle, 1,78 beim Schmetterling und 21 bei der Schutzbrille. Die Schutzbrille braucht keinen Stoß: Die winzigen Fehler der Berechnung selbst wachsen, bis die Bahn nach etwa sieben Perioden verloren geht. Die Taste „Körper 1 anstoßen“ ändert dessen Geschwindigkeit um 0,001 und erhöht Energie und Drehimpuls ein wenig. Daher dreht sich eine angestoßene Acht langsam als Ganzes; das Protokoll vergleicht die Formen, nachdem diese Drehung herausgerechnet wurde.

Newton sagte, der Mond, an dem sowohl Erde als auch Sonne ziehen, sei das einzige Problem gewesen, das ihm Kopfschmerzen bereitet habe. Henri Poincarés 1890 veröffentlichte Preisschrift zeigte, warum solche Probleme so hartnäckig sind: In der Nähe mancher Bahnen faltet sich die Bewegung zu Verflechtungen, die eine langfristige Vorhersage vereiteln — ein erster Blick auf das, was heute Chaos heißt. Die Körper hier sind lediglich gleiche Punktmassen in einer Ebene; sie haben keine Ausdehnung, Zusammenstöße und Verschmelzungen werden nicht simuliert, und es handelt sich nicht um die drei Sonnen und den einen Planeten aus Liu Cixins Roman.