萬花尺

萬花尺裡，一個有$r$個齒的小輪，沿著有$R$個齒的固定大環內側或外側滾動，兩者的齒一一嚙合。筆裝在小輪上，離輪心的距離為$d = \rho r$，隨著小輪畫出圖案。兩個齒輪的齒距相同，所以選定合適的單位後，半徑就是$R$和$r$。$\rho = 1$時，筆在輪緣上；超過1時，筆就位於伸出小輪的轉臂上。你可以在這裡數出決定圖案的齒數，移動筆的位置，看尖點和迴圈如何形成，也可以把圖案保留為圖層。

淡線是筆將要畫出的完整圖案。顏色隨著圖案的一個週期變化，因此重畫同一段時，顏色不會改變。

當原來相遇的兩個齒再次相遇，兩個齒輪就回到最初的位置關係。這需要滾過的齒數，對兩個齒輪來說都剛好是整數圈，第一個符合條件的數就是它們的最小公倍數。令$g = \gcd(R, r)$，則

每滾過$r$個齒就畫出一瓣花瓣，這是曲線的一段，不一定形成封閉的迴圈；每滾過$R$個齒，就繞固定大環一圈。筆在輪心時，圖案只是圓，繞一圈就畫完。因此花瓣數取決於公因數，而非小輪的大小：96齒配36齒會得到8瓣，96齒配35齒則會得到96瓣。小圖追蹤相遇的齒，橫向是大環的齒，縱向是小輪的齒；相隔$g$的刻度標出每瓣的起點。

小輪不能滑動，因此每一瞬間，接觸大環的那一點都是靜止的，小輪正繞著它轉。筆的移動方向便垂直於接觸點到筆的連線，速率與這條線段的長度成正比。轉臂會畫出這條線段和筆的速度向量。筆在輪緣內側時，線段長度不會縮到零，筆就不會停下，圖案也沒有尖點。筆在輪緣上時，每畫一瓣就會到達接觸點並停下一次，形成尖點，但下面的直線情形例外。筆在輪緣外側時，每一瓣都有一小段沿著小輪前進的反方向移動，通常會把每個尖點打開成迴圈。

令θ為小輪中心繞大環走過的角度。用複數表示，筆的位置是

這是兩支首尾相接、各自以固定角速度旋轉的轉臂：一支從大環中心連到小輪中心，另一支長$d$，從小輪中心連到筆。

有些設定會畫出有專門名稱的曲線。筆在輪緣上，沿內側滾動會畫出內擺線，比例為3:1時是三尖瓣線，4:1時是星形線；沿外側滾動會畫出外擺線，兩個齒輪一樣大時是心形線。小輪大小為大環的一半、沿內側滾動時，兩支轉臂以相同速率反向旋轉，因此輪緣內側的筆畫出橢圓，輪緣上的筆則沿著一條直徑來回移動，這就是圖西雙圓。

這些曲線稱為內旋輪線和外旋輪線。英國工程師丹尼斯・費雪在1960年代開發了萬花尺玩具。