Spirograf

Bir spirografta, $r$ dişli bir çark, $R$ dişli sabit bir halkanın içinde ya da dışında, dişleri birbirine geçerek yuvarlanır. Çarkın merkezinden $d = \rho r$ uzaklıktaki bir kalem desen çizer. İki dişlinin diş aralıkları aynıdır; bu yüzden uygun bir birim seçildiğinde yarıçapları $R$ ve $r$ olur. $\rho = 1$ olduğunda kalem çarkın kenarındadır; 1’in üzerinde ise çarkın dışına uzanan bir kolun üzerindedir. Burada deseni belirleyen dişleri sayabilir, sivri uçların ve ilmeklerin nasıl oluştuğunu görmek için kalemi hareket ettirebilir ve desenleri katman olarak saklayabilirsin.

Soluk çizgi, kalemin çizeceği desenin tamamını gösterir. Renk, desenin bir periyodu boyunca değişir; böylece yeniden çizilen bir parça rengini korur.

Aynı iki diş yeniden buluştuğunda dişliler başlangıçtaki konumlarına döner. Bunun için geçilen diş sayısının iki dişlide de tam sayıda tura karşılık gelmesi gerekir. Bu koşulu sağlayan ilk sayı, diş sayılarının en küçük ortak katıdır. $g = \gcd(R, r)$ olmak üzere,

Geçilen her $r$ diş bir taç yaprak çizer; bu, kapalı bir ilmek olması gerekmeyen bir eğri parçasıdır. Her $R$ diş ise sabit halkanın çevresinde bir tur demektir. Kalem merkezdeyse desen yalnızca bir çemberdir ve bir turda tamamlanır. Dolayısıyla taç yaprak sayısı çarkın boyutuna değil, ortak bölene bağlıdır: 96 ve 36 diş 8 taç yaprak verirken, 96 ve 35 diş 96 taç yaprak verir. Küçük şema buluşan dişleri izler; halkanın dişleri yatay, çarkın dişleri dikey yöndedir. $g$ aralıklı işaretler taç yaprakların başlangıcını gösterir.

Çark kayamaz; bu yüzden her an halkaya değen nokta durur ve çark o noktanın çevresinde döner. Kalem de temas noktasını kaleme birleştiren doğru parçasına dik yönde, bu parçanın uzunluğuyla orantılı bir süratle hareket eder. Kollar, bu doğru parçasını ve kalemin hız vektörünü gösterir. Kalem kenarın içindeyse doğru parçasının uzunluğu hiçbir zaman sıfıra inmez; dolayısıyla kalem durmaz ve desende sivri uçlar oluşmaz. Kalem kenardaysa her taç yaprakta bir kez temas noktasına ulaşıp durur ve bir sivri uç oluşturur. Aşağıdaki düz çizgi durumu bunun istisnasıdır. Kenarın dışındaysa kalem her taç yaprakta bir süre çarkın ilerleyişinin tersine hareket eder; bu da genellikle her sivri ucu açarak bir ilmeğe dönüştürür.

Çark merkezinin halkanın çevresinde katettiği açı θ olsun. Karmaşık sayı olarak kalemin konumu

Bunlar uç uca eklenmiş ve her biri sabit açısal hızla dönen iki koldur: biri halkanın merkezinden çarkın merkezine, diğeri çarkın merkezinden kaleme uzanır ve uzunluğu $d$ kadardır.

Bazı ayarlar özel adları olan eğriler verir. Kalem kenardayken içten yuvarlanma bir hiposikloid çizer: 3 : 1 oranında deltoid, 4 : 1 oranında astroid. Dıştan yuvarlanma ise bir episikloid, dişliler eşit büyüklükteyse bir kardiyoid çizer. Halkanın yarısı büyüklüğünde bir çark içeride yuvarlandığında iki kolunu eşit süratle ters yönlerde döndürür. Böylece kenarın içindeki kalem bir elips çizer, kenardaki kalem ise bir çap boyunca gidip gelir: Tûsî çifti.

Bu eğrilere hipotrokoid ve epitrokoid denir. İngiliz mühendis Denys Fisher, Spirograph oyuncağını 1960’larda geliştirdi.