سبيروغراف: تصوّر تفاعلي

السبيروغراف في هذا التصوّر

في السبيروغراف، تتدحرج عجلة ذات $r$ من الأسنان داخل حلقة ثابتة ذات $R$ من الأسنان أو خارجها، وتتعشق أسنانهما سنًا بسن. ويرسم قلم مثبّت في العجلة على بُعد $d = \rho r$ من مركزها. المسافة بين الأسنان متساوية في الترسين، لذا يكون نصفا قطريهما $R$ و $r$ عند اختيار وحدة مناسبة. عند $\rho = 1$ يكون القلم على الحافة، وعند تجاوز ⁦1⁩ يكون على ذراع تمتد خارج العجلة. يمكنك هنا عدّ الأسنان التي تحدّد النمط، وتحريك القلم لترى كيف تتكوّن الرؤوس الحادة والعُرى، والاحتفاظ بالأنماط في طبقات.

الخط الباهت هو النمط الكامل الذي سيرسمه القلم. يتغيّر اللون على امتداد دورة النمط، لذلك يحتفظ الجزء الذي يُرسم مرة أخرى بلونه.

يعود الترسان إلى وضعهما الأول عندما يلتقي مجددًا السنّان اللذان التقيا في البداية. ويتطلّب ذلك اجتياز عدد من الأسنان يقابل عددًا صحيحًا من الدورات لكلا الترسين. وأول عدد يحقّق هذا هو المضاعف المشترك الأصغر لعددي أسنانهما. إذا كان $g = \gcd(R, r)$ ، فإن

L = \operatorname{lcm}(R, r) = \frac{Rr}{g}, \qquad \text{عدد البتلات} = \frac{L}{r} = \frac{R}{g}, \qquad \text{عدد الدورات} = \frac{L}{R} = \frac{r}{g} \text{.}

كل $r$ من الأسنان التي تُجتاز ترسم بتلة واحدة، وهي جزء من المنحنى لا يلزم أن يكون عروة مغلقة. وكل $R$ من الأسنان تكمل دورة واحدة حول الحلقة الثابتة. إذا كان القلم في المركز، فالنمط مجرد دائرة تكتمل في دورة واحدة. إذن يعتمد عدد البتلات على القاسم المشترك، لا على حجم العجلة: ⁦96⁩ سنًا مع ⁦36⁩ تعطي ⁦8⁩ بتلات، و⁦96⁩ مع ⁦35⁩ تعطي ⁦96⁩. يتتبّع الرسم الصغير الأسنان المتلاقية، أسنان الحلقة أفقيًا وأسنان العجلة رأسيًا. وتحدّد علاماته، المتباعدة بمقدار $g$ ، بدايات البتلات.

لا تستطيع العجلة الانزلاق، لذا تكون نقطة تماسها مع الحلقة ساكنة في كل لحظة، وتدور العجلة حولها. لذلك يتحرّك القلم عموديًا على القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطة التماس والقلم، بسرعة تتناسب مع طولها. يعرض خيار الأذرع هذه القطعة ومتجه سرعة القلم. عندما يكون القلم داخل الحافة، لا يتناقص طول القطعة إلى الصفر، فلا يتوقف القلم ولا تظهر رؤوس حادة في النمط. وعندما يكون على الحافة، يصل إلى نقطة التماس ويتوقف مرة واحدة في كل بتلة، فينشأ رأس حاد، باستثناء حالة الخط المستقيم الواردة أدناه. أما خارج الحافة، فيتحرّك القلم مرة في كل بتلة عكس اتجاه تقدّم العجلة لمسافة قصيرة، وهذا عادةً ما يفتح كل رأس ليحوّله إلى عروة.

لتكن ⁦θ⁩ الزاوية التي قطعها مركز العجلة حول الحلقة. يُكتب موضع القلم كعدد مركب على الصورة

\text{في الداخل: } z = (R - r)\,e^{i\theta} + d\,e^{-i\frac{R - r}{r}\theta}, \qquad \text{في الخارج: } z = (R + r)\,e^{i\theta} - d\,e^{i\frac{R + r}{r}\theta} \text{.}

هذا يمثّل ذراعين موصولتين طرفًا بطرف، تدور كل منهما بسرعة زاوية ثابتة: إحداهما من مركز الحلقة إلى مركز العجلة، والأخرى بطول $d$ من مركز العجلة إلى القلم.

تنتج بعض الإعدادات منحنيات لها أسماء خاصة. عندما يكون القلم على الحافة، يرسم التدحرج داخل الحلقة دُويريًا تحتيًا: الدلتويد عند النسبة ⁦3 : 1⁩ والأسترويد عند ⁦4 : 1⁩. أما التدحرج خارجها فيرسم دُويريًا فوقيًا، ويكون المنحنى قلبيًا عندما يتساوى الترسان في الحجم. إذا تدحرجت داخل الحلقة عجلة بنصف حجمها، دارت ذراعاها بالسرعة نفسها في اتجاهين متعاكسين. لذلك يرسم القلم داخل الحافة قطعًا ناقصًا، بينما يتحرّك القلم على الحافة على امتداد قطر: هذه هي مزدوجة الطوسي.

تُسمّى هذه المنحنيات تروكويدات تحتية وتروكويدات فوقية. طوّر المهندس البريطاني دينيس فيشر لعبة السبيروغراف في ستينيات القرن العشرين.

أمور تستحق الانتباه

في أنماط العرض المتوهجة، لا تعني شدة اللون وجود حبر أكثر. فقد تحرّك القلم هناك ببطء أكبر، أو تقاطعت الخطوط؛ ولهذا يكون اللون أشد قرب الرؤوس الحادة.

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Spirograph (الإنجليزية); ويكيبيديا: Hypotrochoid (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Epitrochoid (الإنجليزية).