المنحنى القطبي

في الإحداثيات القطبية تُحدَّد النقطة بزاوية ⁦θ⁩ مقاسة من محور ⁦x⁩ الموجب، ومسافة ذات إشارة ⁦r⁩ في ذلك الاتجاه. المنحنى القطبي $r = f(\theta)$ هو مجموعة النقاط التي لها تمثيل واحد على الأقل ⁦(r, θ)⁩ يحقق المعادلة.

في الرسم القطبي، الزاوية ⁦θ⁩ وشعاعها أحمران، و⁦r⁩ هي القطعة الصفراء من الأصل إلى القلم الأزرق. يرسم مخطط ⁦r–θ⁩ العلاقة المعتادة بين ⁦r⁩ و⁦θ⁩، بالمقياس نفسه لـ⁦r⁩. حيث يقطع المخطط محور ⁦θ⁩ يمر المنحنى بالأصل. وحيث يقع تحت المحور يكون القلم في الجانب المقابل من الأصل، وتعلّم الأشعة الصفراء الجزء المرسوم حتى الآن مع ⁦r < 0⁩.

تضع ⁦r⁩ السالبة النقطة على الشعاع المعاكس، على بعد ⁦|r|⁩ من الأصل؛ لذا فإن $(-r, \theta + \pi)$ و$(r, \theta)$ تمثيلان للنقطة نفسها. للنقطة إذن تمثيلات كثيرة، وتنتمي إلى المنحنى إذا حقق أحدها المعادلة، ولا يلزم أن تحققها جميعًا.

ترسم الوردة $r = \cos k\theta$، حيث ⁦k⁩ عدد صحيح موجب، بتلة بين كل صفرين متجاورين لـ$\cos k\theta$، تفصل بينهما زاوية ⁦π/k⁩. تحدد العلاقة $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$ ما إذا كانت الدورة الكاملة تعطي ⁦2k⁩ بتلة أو ⁦k⁩ بتلة تُرسم مرتين. عندما يكون ⁦k⁩ فرديًا، فإن إضافة ⁦π⁩ إلى ⁦θ⁩ تعكس الشعاع وتغير إشارة ⁦r⁩، فتبقى النقطة في موضعها. لذا يعيد نصف الدورة الثاني رسم الأول. تُرسم كل من البتلات ⁦k⁩ مرة مع ⁦r > 0⁩ ومرة مع ⁦r < 0⁩. وعندما يكون ⁦k⁩ زوجيًا، تكون النقطة عند ⁦θ + π⁩ صورة النقطة عند ⁦θ⁩ بدوران نصف دورة حول الأصل؛ فتختلف البتلات ⁦2k⁩ كلها ويُرسم نصفها بقيم سالبة لـ⁦r⁩. يعدّ الرمزان ⁦1×⁩ و⁦2×⁩ خارج الأطراف مرات رسم كل بتلة كاملة حتى الآن.

يتخذ حلزون باسكال $r = a + b\cos\theta$ مع ⁦a, b > 0⁩ أحد أربعة أشكال يحددها ⁦b/a⁩ وحده؛ لذا تثبّت الصفحة ⁦a = 1⁩ وتغيّر ⁦b⁩. عند ⁦b ≤ 1/2⁩ يكون المنحنى محدّبًا، وعند ⁦1/2 < b < 1⁩ يظهر انبعاج إلى الداخل، وعند ⁦b = 1⁩ يصبح المنحنى القلبي $r = 1 + \cos\theta$. وعند ⁦b > 1⁩ تكون ⁦r⁩ سالبة عندما $\cos\theta < -1/b$، وترسم قيم ⁦θ⁩ هذه حلقة داخلية في الجانب المقابل من الأصل.

يعطي اشتقاق ⁦x⁩ و⁦y⁩ بالنسبة إلى ⁦θ⁩ سرعة القلم لكل راديان. في المنحنى القلبي تساوي $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$، وتصبح ⁦0⁩ عند ⁦θ = π⁩. يتوقف القلم هناك، ويظهر رأس مدبب للمنحنى عند الأصل. أما الوردة عندما ⁦k > 1⁩ فتمر بالأصل بأقصى سرعتها.

يتحرك لولب أرخميدس $r = \theta$، هنا ضمن ⁦0 ≤ θ ≤ 4π⁩، إلى الخارج بمعدل ثابت مع الدوران. تتجه ⁦θ⁩ و⁦θ + 2π⁩ على الشعاع نفسه لكنهما لا تحددان النقطة نفسها: في كل دورة يقطع اللولب كل شعاع على بعد إضافي قدره ⁦2π⁩.