极坐标曲线

在极坐标里，一个点由角θ和有向距离r给出：θ从x轴正方向量起，r沿这个方向量。极坐标曲线$r = f(\theta)$是这样一些点的集合：它们有一个名字(r, θ)满足方程。

在极坐标图里，θ和它的射线是红色的，r是从原点到蓝色笔尖的黄色线段。r–θ图把r对θ画成一张普通的图，r的单位长度与极坐标图相同。这张图穿过θ轴的地方，曲线经过原点；它在轴下方的地方，笔在原点的另一侧，黄色辐条标出到目前为止r < 0的那一段。

r为负时，点在相反的射线上、离原点|r|处，所以$(-r, \theta + \pi)$和$(r, \theta)$是同一个点。于是一个点有很多名字，只要其中一个满足方程，它就在曲线上，不必每个都满足。

玫瑰线$r = \cos k\theta$（k为正整数）在$\cos k\theta$每两个相邻零点之间画出一瓣，相邻零点相隔π/k。转一整圈得到2k瓣，还是k瓣各描两遍，看这一行就知道：$\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$。k为奇数时，θ增加π使射线反向，r也变号，点的位置因此不变，后半圈就把前半圈重描一遍。每一瓣都在r > 0和r < 0时各描一遍。k为偶数时，θ + π处的点是θ处的点绕原点转半圈，所以2k瓣各不相同，其中一半是负的r画的。瓣尖外面的1×、2×，数的是到目前为止整瓣描了几遍。

蜗线$r = a + b\cos\theta$（a、b > 0）有四种形状，只由b/a决定，所以本页固定a = 1，只调b。b ≤ 1/2时曲线是凸的；1/2 < b < 1时有一个凹陷；b = 1时是心形线$r = 1 + \cos\theta$。b > 1时，$\cos\theta < -1/b$的那些θ让r为负，在原点另一侧画出一个内圈。

x、y对θ求导，得到笔相对于转角θ的速率。在心形线上，$ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$，θ = π时为0。笔在那里停住，曲线在原点有一个尖点。k > 1的玫瑰线则相反，过原点时最快。

阿基米德螺线$r = \theta$（本页0 ≤ θ ≤ 4π）边转边匀速向外。θ和θ + 2π指向同一根射线，却不是同一个点：每转一圈，它在每根射线上都远出2π。