Curva polar

Em coordenadas polares, um ponto é dado por um ângulo θ, medido a partir do semieixo x positivo, e por uma distância com sinal r nessa direção. Uma curva polar $r = f(\theta)$ é o conjunto de pontos que têm pelo menos uma representação (r, θ) que satisfaz a equação.

No gráfico polar, θ e a sua semirreta são vermelhos; r é representado pelo segmento amarelo da origem à caneta azul. O gráfico r–θ mostra r em função de θ como um gráfico habitual, com a mesma escala para r. Onde cruza o eixo θ, a curva passa pela origem. Onde fica abaixo do eixo, a caneta está do outro lado da origem e os raios amarelos assinalam o trecho já traçado com r < 0.

Um r negativo coloca o ponto à distância |r| da origem na semirreta oposta, pelo que $(-r, \theta + \pi)$ e $(r, \theta)$ são o mesmo ponto. Um ponto tem, assim, várias representações e pertence à curva quando uma delas satisfaz a equação; não é necessário que todas a satisfaçam.

Uma rosácea $r = \cos k\theta$, com k inteiro positivo, traça uma pétala entre cada par de zeros consecutivos de $\cos k\theta$, separados por π/k. Uma volta completa dá 2k pétalas ou k pétalas traçadas duas vezes, como resulta de uma única igualdade: $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Para k ímpar, somar π a θ inverte a semirreta e muda o sinal de r, deixando o ponto onde estava. A segunda meia-volta volta, por isso, a traçar a primeira. Cada uma das k pétalas é traçada uma vez com r > 0 e outra com r < 0. Para k par, o ponto de θ + π é o de θ rodado meia-volta em torno da origem: as 2k pétalas são todas diferentes e metade são traçadas com r negativo. As indicações 1× e 2× junto às pontas contam quantas vezes cada pétala completa já foi traçada.

Um limaçon $r = a + b\cos\theta$, com a, b > 0, assume uma de quatro formas, determinada apenas por b/a. Por isso, a página fixa a = 1 e varia b. Para b ≤ 1/2 a curva é convexa; para 1/2 < b < 1 tem uma reentrância; em b = 1 é a cardioide $r = 1 + \cos\theta$. Para b > 1, r é negativo quando $\cos\theta < -1/b$, e esses ângulos θ desenham um laço interior do outro lado da origem.

Derivar x e y em ordem a θ dá a rapidez da caneta por radiano. Na cardioide é $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$, que vale 0 em θ = π. A caneta para aí e a curva tem uma cúspide na origem. Uma rosácea com k > 1, pelo contrário, passa pela origem à rapidez máxima.

A espiral de Arquimedes $r = \theta$, aqui para 0 ≤ θ ≤ 4π, afasta-se da origem a um ritmo constante enquanto roda. θ e θ + 2π apontam sobre a mesma semirreta, mas não para o mesmo ponto: cada volta cruza cada semirreta 2π mais longe.