극좌표 곡선

극좌표에서는 양의 x축에서 잰 각도 θ와 그 방향의 부호 있는 거리 r로 점을 나타냅니다. 극좌표 곡선 $r = f(\theta)$는 방정식을 만족하는 좌표 표현 (r, θ)를 하나 이상 갖는 점들의 집합입니다.

극좌표 그림에서 θ와 그 반직선은 빨간색이며 r은 원점에서 파란 펜까지의 노란 선분입니다. r–θ 그래프는 θ에 대한 r을 일반적인 그래프로 나타내며 r의 축척은 같습니다. 이 그래프가 θ축을 가로지르면 곡선은 원점을 통과합니다. 축 아래에 있으면 펜은 원점 반대편에 있고, 노란 방사선은 지금까지 r < 0으로 그린 부분을 표시합니다.

r이 음수이면 점은 반대쪽 반직선 위, 원점에서 |r|만큼 떨어진 곳에 놓입니다. 따라서 $(-r, \theta + \pi)$와 $(r, \theta)$의 위치는 같습니다. 한 점에는 여러 좌표 표현이 있으며 그중 하나가 방정식을 만족하면 곡선 위의 점입니다. 모든 표현이 만족할 필요는 없습니다.

양의 정수 k에 대한 장미곡선 $r = \cos k\theta$는 $\cos k\theta$의 이웃한 두 영점 사이에 꽃잎 하나를 그립니다. 영점의 간격은 π/k입니다. 한 바퀴에 꽃잎 2k개를 그리는지, k개를 두 번씩 그리는지는 $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$라는 한 줄로 설명됩니다. k가 홀수이면 θ에 π를 더할 때 반직선이 반대가 되고 r의 부호도 바뀌어 점은 같은 자리에 놓입니다. 따라서 뒤쪽 반 바퀴가 앞쪽 반 바퀴를 다시 그립니다. 꽃잎 k개를 각각 r > 0에서 한 번, r < 0에서 한 번 그립니다. k가 짝수이면 θ + π의 점은 θ의 점을 원점 둘레로 반 바퀴 돌린 위치이므로 2k개 꽃잎이 모두 다르고 절반은 음수 r로 그려집니다. 끝 바깥의 1×와 2×는 각 꽃잎 전체를 지금까지 몇 번 그렸는지 나타냅니다.

a, b > 0인 리마송 $r = a + b\cos\theta$는 b/a만으로 정해지는 네 가지 모양 중 하나이므로 이 페이지는 a = 1로 고정하고 b를 바꿉니다. b ≤ 1/2이면 볼록하고, 1/2 < b < 1이면 움푹 들어간 부분이 있으며, b = 1이면 심장형 곡선 $r = 1 + \cos\theta$가 됩니다. b > 1에서는 $\cos\theta < -1/b$일 때 r이 음수이며 그 θ들이 원점 반대편에 안쪽 고리를 그립니다.

x와 y를 θ에 대해 미분하면 펜의 라디안당 속력을 얻습니다. 심장형 곡선에서는 $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$이며 θ = π에서 0이 됩니다. 펜은 그곳에서 멈추고 곡선은 원점에 뾰족점을 가집니다. 반면 k > 1인 장미곡선은 가장 빠른 속력으로 원점을 통과합니다.

아르키메데스 나선 $r = \theta$는 여기서 0 ≤ θ ≤ 4π 범위를 그리며, 회전하면서 일정한 비율로 바깥으로 나갑니다. θ와 θ + 2π는 같은 반직선을 향하지만 같은 점은 아닙니다. 한 바퀴마다 각 반직선을 2π만큼 더 바깥에서 지납니다.