매개변수방정식

매개변수방정식은 두 좌표를 하나의 매개변수에 대한 함수 $x = f(t),\ y = g(t)$로 나타내며, t는 어떤 범위 안에서 변합니다. 매개변수는 각도나 길이일 수도 있지만 여기서는 t가 시계입니다. 매 순간 펜은 $(f(t), g(t))$에 있고, 그 흔적이 곡선이 됩니다. 이렇게 보면 매개화는 곡선 위에 어떤 점이 있는지를 넘어서, 펜이 각 점에 언제 도달하는지도 알려 줍니다.

곡선과 두 그래프는 같은 길이 단위를 사용합니다. 곡선 오른쪽의 y(t) 그래프는 곡선의 y축을 그대로 쓰고, t는 오른쪽으로 증가합니다. 아래의 x(t) 그래프는 곡선의 x축을 쓰고, t는 아래로 증가합니다. 따라서 y에 따른 x가 아니라 t에 따른 x의 변화를 보여 줍니다. 펜에서 오른쪽과 아래로 따라가면 두 그래프의 같은 시각, 즉 빨간 시간선에 도달합니다. 그곳에서의 그래프 기울기 $x'(t)$와 $y'(t)$가 속도의 두 성분입니다. t축은 화면에 맞게 축척을 조절했으므로, 눈에 보이는 가파른 정도가 실제 기울기의 값을 나타내지는 않습니다.

하나의 곡선에도 여러 매개화가 있으며, 시계를 보면 그 차이를 알 수 있습니다. 단위원에서 $(\cos t, \sin t)$는 한 바퀴를 돌고, $(\cos 2t, \sin 2t)$는 두 배 빠르게, $(\cos t, -\sin t)$는 반대 방향으로 움직입니다. 유리식으로 움직이는 펜 $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$는 원 위에 머물지만 (−1, 0)에는 결코 도달하지 못하고, 그 점에 가까워질수록 느려집니다. $y = x^2$ 위에서 $(t^3, t^6)$는 꼭짓점에서 잠시 멈추고, $(\sin t, \sin^2 t)$는 왕복합니다. t를 소거하면 x와 y 사이의 관계, 즉 읽기 창에 표시된 궤적만 남습니다. 펜이 언제 어디에 있는지, 어느 방향으로 얼마나 빠르게 가는지, 몇 번 지나는지는 사라집니다. 예를 들어 8자 곡선은 원점을 두 번 지나며, 그때마다 진행 방향이 다릅니다.

재생을 누르면 t가 초당 1씩 증가하고 같은 시간 간격으로 빨간 표시를 남깁니다. 펜이 빠른 곳에서는 표시가 떨어져 있고 느린 곳에서는 모입니다. 타원 $(2\cos t, \sin t)$에서는 짧은 축의 양 끝에서 가장 빠릅니다. 같은 타원을 호의 길이로 매개화하면 속력 1로 그릴 수도 있습니다. 첫 번째 펜을 재생한 뒤 호의 길이를 따르는 펜으로 바꾸면, 같은 시각의 표시가 다시 그려져 곡선을 따라 등간격으로 놓입니다.

사이클로이드는 반지름 1인 바퀴가 직선을 따라 미끄러지지 않고 구를 때 바퀴 둘레의 한 점이 그리는 곡선입니다. 바퀴가 t만큼 회전하면 앞으로 t만큼 나아가므로 $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$입니다. 매 순간 바퀴는 땅과 닿는 점을 중심으로 회전합니다. 따라서 펜은 그 점에서 펜까지 잇는 선분에 수직으로 움직이고, 속력은 선분의 길이 $2\lvert\sin(t/2)\rvert$와 같습니다. 펜이 땅에 닿으면 그 길이가 0이 되어 펜은 멈추고 곡선에 첨점이 생깁니다. 하지만 속도가 0이라는 사실만으로 첨점이 생기지는 않습니다. $(\sin t, \sin^2 t)$는 (1, 1)에서 멈춰 되돌아가고, $(t^3, t^6)$는 꼭짓점에서 잠시 멈추지만, $y = x^2$는 두 곳 모두에서 매끄럽습니다.